Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 10 (2,0 điểm) Cho biểu thức: $M=(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}):\frac2{x+2}$,1) Tìm điều kiện xác định của M.,2) Rút gọn M.,3) Tìm x để $M=1.$,Câu 11 (3,0 điểm),1) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với,AB, kẻ ME vuông góc với AC. ( Đitm DDnnmm bhnn can AAB, E mmm in AA )),a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.,b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ADME là hình vuông.,2) Cho biết thang của một xe cứu hoả có chiều dài 13 m, chân thang cách mặt đất 3 m,và cách tường của toà nhà 5 m. Tính chiều cao mà thang có thể vươn tới., ,Câu 12 (0,5 điểm),Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn : $a^3+b^3=3ab-1.$ Chứng minh: $a^{2023}+b^{2024}=2.$,Hết./.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 10 (2,0 điểm) Cho biểu thức: $M=(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}):\frac2{x+2}$,1) Tìm điều kiện xác định của M.,2) Rút gọn M.,3) Tìm x để $M=1.$,Câu 11 (3,0 điểm),1) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với,AB, kẻ ME vuông góc với AC. ( Đitm DDnnmm bhnn can AAB, E mmm in AA )),a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.,b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ADME là hình vuông.,2) Cho biết thang của một xe cứu hoả có chiều dài 13 m, chân thang cách mặt đất 3 m,và cách tường của toà nhà 5 m. Tính chiều cao mà thang có thể vươn tới.,

,Câu 12 (0,5 điểm),Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn : $a^3+b^3=3ab-1.$ Chứng minh: $a^{2023}+b^{2024}=2.$,Hết./.

Accepted Answer

Câu 10
1) Điều kiện xác định của M:
- Để biểu thức $\frac{1}{x-2}$ có nghĩa, ta cần $x-2 \neq 0$, tức là $x \neq 2$.
- Để biểu thức $\frac{1}{x+2}$ có nghĩa, ta cần $x+2 \neq 0$, tức là $x \neq -2$.
- Để biểu thức $\frac{2}{x+2}$ có nghĩa, ta cũng cần $x+2 \neq 0$, tức là $x \neq -2$.

Vậy điều kiện xác định của M là: $x \neq 2$ và $x \neq -2$.

2) Rút gọn M:
Ta có:
$$ M = \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right) : \frac{2}{x+2} $$

Trước tiên, ta thực hiện phép trừ các phân số trong ngoặc:
$$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} $$

Tiếp theo, ta chia kết quả này cho $\frac{2}{x+2}$:
$$ M = \frac{4}{(x-2)(x+2)} : \frac{2}{x+2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} \times \frac{x+2}{2} = \frac{4(x+2)}{2(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x-2} $$

Vậy, biểu thức M đã được rút gọn là:
$$ M = \frac{2}{x-2} $$

3) Tìm x để $M = 1$:
Ta có:
$$ \frac{2}{x-2} = 1 $$

Nhân cả hai vế với $(x-2)$:
$$ 2 = x - 2 $$

Cộng thêm 2 vào cả hai vế:
$$ x = 4 $$

Vậy, giá trị của x để $M = 1$ là $x = 4$.

Câu 11
1) 
a) Ta có: $\angle DAE = 90^\circ$ (góc vuông của tam giác ABC)
$\angle ADM = 90^\circ$ (do MD vuông góc với AB)
$\angle AEM = 90^\circ$ (do ME vuông góc với AC)

Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Để tứ giác ADME là hình vuông, ta cần thêm điều kiện: AB = AC. Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, và do đó, các đoạn thẳng AD và AE sẽ bằng nhau, làm cho tứ giác ADME trở thành hình vuông.

2) 
Chiều dài thang là 13 m, chân thang cách mặt đất 3 m và cách tường của tòa nhà 5 m. Ta cần tính chiều cao mà thang có thể vươn tới.

Ta có:
- Chiều dài thang là 13 m.
- Chiều rộng từ chân thang đến tường là 5 m.
- Chiều cao từ mặt đất đến điểm tiếp xúc của thang với tường là 3 m.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông có cạnh huyền là 13 m, một cạnh là 5 m, ta có:
$$ 13^2 = 5^2 + h^2 $$
$$ 169 = 25 + h^2 $$
$$ h^2 = 169 - 25 $$
$$ h^2 = 144 $$
$$ h = 12 $$

Vậy chiều cao mà thang có thể vươn tới là:
$$ 12 + 3 = 15 \text{ m} $$

Đáp số: 15 m.

Câu 12
Để chứng minh $a^{2023} + b^{2024} = 2$ từ điều kiện $a^3 + b^3 = 3ab - 1$, ta sẽ làm như sau:

1. Bước 1: Xét điều kiện ban đầu
   Ta có:
   $$
   a^3 + b^3 = 3ab - 1
   $$

2. Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức
   Ta biết rằng:
   $$
   a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
   $$
   Do đó, ta có:
   $$
   (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 3ab - 1
   $$

3. Bước 3: Tìm giá trị của $a$ và $b$
   Ta thử thay $a = 1$ và $b = 1$ vào điều kiện ban đầu:
   $$
   1^3 + 1^3 = 3 \cdot 1 \cdot 1 - 1
   $$
   $$
   1 + 1 = 3 - 1
   $$
   $$
   2 = 2
   $$
   Điều này đúng, do đó $a = 1$ và $b = 1$ là một cặp giá trị thỏa mãn điều kiện ban đầu.

4. Bước 4: Chứng minh $a^{2023} + b^{2024} = 2$
   Với $a = 1$ và $b = 1$:
   $$
   a^{2023} + b^{2024} = 1^{2023} + 1^{2024}
   $$
   $$
   = 1 + 1
   $$
   $$
   = 2
   $$

Vậy ta đã chứng minh được $a^{2023} + b^{2024} = 2$ khi $a = 1$ và $b = 1$.

Đáp số: $a^{2023} + b^{2024} = 2$.