Giúp mình với!

Bài 3. a) Ta sẽ chứng minh tứ giác AMNI là hình thang cân. - Vì BD là phân giác của góc ABC, nên ta có $$ (vì $$). - Xét tam giác ABD, ta có $$. - Xét tam giác BCD, ta có $$. - Vì M là trung điểm của BD, N là trung điểm của BC và I là trung điểm của CD, nên ta có: - MN là đường trung bình của tam giác BCD, do đó MN song song với CD và MN = $$CD. - MI là đường trung bình của tam giác BCD, do đó MI song song với BC và MI = $$BC. - Vì MN song song với CD và MI song song với BC, nên ta có MN song song với MI. - Xét tam giác ABD, ta có $$ và $$, do đó $$. Vì M là trung điểm của BD, nên AM là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BD, tức là AM vuông góc với BD. - Xét tam giác BCD, ta có $$ và $$, do đó $$. Vì I là trung điểm của CD, nên NI là đường cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD, tức là NI vuông góc với CD. - Vì AM vuông góc với BD và NI vuông góc với CD, nên ta có AM song song với NI. - Vậy tứ giác AMNI có hai cặp cạnh đối song song, do đó AMNI là hình thang. - Ta sẽ chứng minh AMNI là hình thang cân. Vì MN song song với CD và MI song song với BC, nên ta có: - $$ (hai góc so le trong). - $$ (hai góc so le trong). - Vì $$ (cùng bằng 90^\circ), nên ta có $$. - Vậy AMNI là hình thang cân. b) Ta sẽ tính các cạnh của tứ giác AMNI. - Vì AB = 4 cm và $$, nên ta có AC = AB $$ $$ = 4 $$ $$ = 4$$ cm. - Vì M là trung điểm của BD, nên BM = MD = $$BD. - Vì N là trung điểm của BC, nên BN = NC = $$BC. - Vì I là trung điểm của CD, nên CI = ID = $$CD. - Ta có BD = AB $$ $$ = 4 $$ $$ = 4$$ cm. - Ta có BC = AB $$ 2 = 4 $$ 2 = 8 cm. - Ta có CD = AC $$ $$ = 4$$ $$ $$ = 12 cm. - Vậy ta có: - AM = $$AB = $$ $$ 4 = 2 cm. - MN = $$CD = $$ $$ 12 = 6 cm. - NI = $$BC = $$ $$ 8 = 4 cm. - AI = $$AC = $$ $$ 4$$ = 2$$ cm. Đáp số: AM = 2 cm, MN = 6 cm, NI = 4 cm, AI = 2$$ cm. Bài 4. a) Ta có: $$ $$ $$ Tổng: $$ Ta thấy rằng: $$ b) Ta cần chứng minh rằng $$. - Xét tam giác $$, ta có $$ là phân giác của góc $$. - Xét tam giác $$, ta có $$ là phân giác của góc $$. - Xét tam giác $$, ta có $$ là phân giác của góc $$. Do đó, ta có: - $$ (vì $$ là phân giác của góc $$) - $$ (vì $$ là phân giác của góc $$) - $$ (vì $$ là phân giác của góc $$) Nhân ba tỉ lệ này lại với nhau, ta có: $$ Do đó: $$ Suy ra: $$ Vậy ta đã chứng minh được $$.