Giúp mình với!

Bài 3. a) Ta sẽ chứng minh tứ giác AMNI là hình thang cân. - Vì BD là phân giác của góc ABC, nên ta có $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = 30^\circ$ (vì $\widehat{ABC} = 60^\circ$). - Xét tam giác ABD, ta có $\widehat{BAD} = 90^\circ - \widehat{ABD} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. - Xét tam giác BCD, ta có $\widehat{BCD} = 90^\circ - \widehat{DBC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. - Vì M là trung điểm của BD, N là trung điểm của BC và I là trung điểm của CD, nên ta có: - MN là đường trung bình của tam giác BCD, do đó MN song song với CD và MN = $\frac{1}{2}$CD. - MI là đường trung bình của tam giác BCD, do đó MI song song với BC và MI = $\frac{1}{2}$BC. - Vì MN song song với CD và MI song song với BC, nên ta có MN song song với MI. - Xét tam giác ABD, ta có $\widehat{ABD} = 30^\circ$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$, do đó $\widehat{ADB} = 90^\circ$. Vì M là trung điểm của BD, nên AM là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BD, tức là AM vuông góc với BD. - Xét tam giác BCD, ta có $\widehat{BCD} = 60^\circ$ và $\widehat{DBC} = 30^\circ$, do đó $\widehat{BDC} = 90^\circ$. Vì I là trung điểm của CD, nên NI là đường cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD, tức là NI vuông góc với CD. - Vì AM vuông góc với BD và NI vuông góc với CD, nên ta có AM song song với NI. - Vậy tứ giác AMNI có hai cặp cạnh đối song song, do đó AMNI là hình thang. - Ta sẽ chứng minh AMNI là hình thang cân. Vì MN song song với CD và MI song song với BC, nên ta có: - $\widehat{AMN} = \widehat{AND}$ (hai góc so le trong). - $\widehat{ANI} = \widehat{IDC}$ (hai góc so le trong). - Vì $\widehat{AND} = \widehat{IDC}$ (cùng bằng 90^\circ), nên ta có $\widehat{AMN} = \widehat{ANI}$. - Vậy AMNI là hình thang cân. b) Ta sẽ tính các cạnh của tứ giác AMNI. - Vì AB = 4 cm và $\widehat{ABC} = 60^\circ$, nên ta có AC = AB $\times$ $\sqrt{3}$ = 4 $\times$ $\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$ cm. - Vì M là trung điểm của BD, nên BM = MD = $\frac{1}{2}$BD. - Vì N là trung điểm của BC, nên BN = NC = $\frac{1}{2}$BC. - Vì I là trung điểm của CD, nên CI = ID = $\frac{1}{2}$CD. - Ta có BD = AB $\times$ $\sqrt{3}$ = 4 $\times$ $\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$ cm. - Ta có BC = AB $\times$ 2 = 4 $\times$ 2 = 8 cm. - Ta có CD = AC $\times$ $\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$ $\times$ $\sqrt{3}$ = 12 cm. - Vậy ta có: - AM = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$ $\times$ 4 = 2 cm. - MN = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$ $\times$ 12 = 6 cm. - NI = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$ $\times$ 8 = 4 cm. - AI = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$ $\times$ 4$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$ cm. Đáp số: AM = 2 cm, MN = 6 cm, NI = 4 cm, AI = 2$\sqrt{3}$ cm. Bài 4. a) Ta có: $\frac{HA'}{AA'} = \frac{HA'}{AH + HA'}$ $\frac{HB'}{BB'} = \frac{HB'}{BH + HB'}$ $\frac{HC'}{CC'} = \frac{HC'}{CH + HC'}$ Tổng: $\frac{HA'}{AA'} + \frac{HB'}{BB'} + \frac{HC'}{CC'} = \frac{HA'}{AH + HA'} + \frac{HB'}{BH + HB'} + \frac{HC'}{CH + HC'}$ Ta thấy rằng: $\frac{HA'}{AH + HA'} + \frac{HB'}{BH + HB'} + \frac{HC'}{CH + HC'} = 1$ b) Ta cần chứng minh rằng $AN \cdot BI \cdot CM = BN \cdot IC \cdot AM$. - Xét tam giác $ABC$, ta có $AI$ là phân giác của góc $BAC$. - Xét tam giác $AIC$, ta có $IM$ là phân giác của góc $AIC$. - Xét tam giác $AIB$, ta có $IN$ là phân giác của góc $AIB$. Do đó, ta có: - $\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}$ (vì $AI$ là phân giác của góc $BAC$) - $\frac{BI}{IA} = \frac{BC}{CA}$ (vì $BI$ là phân giác của góc $ABC$) - $\frac{CM}{MA} = \frac{CB}{BA}$ (vì $CM$ là phân giác của góc $ACB$) Nhân ba tỉ lệ này lại với nhau, ta có: $\frac{AN}{NC} \cdot \frac{BI}{IA} \cdot \frac{CM}{MA} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{BC}{CA} \cdot \frac{CB}{BA} = 1$ Do đó: $\frac{AN \cdot BI \cdot CM}{NC \cdot IA \cdot MA} = 1$ Suy ra: $AN \cdot BI \cdot CM = NC \cdot IA \cdot MA$ Vậy ta đã chứng minh được $AN \cdot BI \cdot CM = BN \cdot IC \cdot AM$.