Sos ⠀ 🌷🌸🌷🌸 🌸🌷🌸🌷🌸 Λ🌷🌸🌷🌸🌷 ( ˘ ᵕ ˘🌷🌸🌷 ヽ つ＼\ ／ UU / 🎀 \n

Bài 3 a) Ta có: \[ 2x(x-3) - x + 3 = 0 \] Nhóm các hạng tử lại: \[ 2x(x-3) - (x-3) = 0 \] Nhân vào: \[ (x-3)(2x-1) = 0 \] Từ đây ta có hai trường hợp: - \( x - 3 = 0 \) suy ra \( x = 3 \) - \( 2x - 1 = 0 \) suy ra \( 2x = 1 \) suy ra \( x = \frac{1}{2} \) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \) hoặc \( x = \frac{1}{2} \). b) Ta có: \[ (3x-1)(2x+1) - (x+1)^2 = 5x^2 \] Mở ngoặc và nhóm các hạng tử lại: \[ 6x^2 + 3x - 2x - 1 - (x^2 + 2x + 1) = 5x^2 \] \[ 6x^2 + x - 1 - x^2 - 2x - 1 = 5x^2 \] \[ 5x^2 - x - 2 = 5x^2 \] Trừ \( 5x^2 \) từ cả hai vế: \[ -x - 2 = 0 \] \[ -x = 2 \] \[ x = -2 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -2 \). Bài 4 a) Ta có \( \angle BAC = 90^\circ \) (vì \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \)). \( \angle MHN = 90^\circ \) (vì \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \)). Do đó, \( \angle AMH = 90^\circ \) và \( \angle ANH = 90^\circ \) (góc vuông giữa đường cao và cạnh đáy). Tứ giác \( AMHN \) có 4 góc đều là góc vuông, nên \( AMHN \) là hình chữ nhật. b) Ta có \( NE = NH \) và \( MF = MH \). Vì \( AMHN \) là hình chữ nhật, nên \( AM = NH \) và \( AN = MH \). Do đó, \( AM = NE \) và \( AN = MF \). Tứ giác \( AFMN \) có \( AM = NF \) và \( AN = MF \), nên \( AFMN \) là hình bình hành. c) Ta cần chứng minh 3 điểm \( E \), \( A \), \( F \) thẳng hàng. - Vì \( NE = NH \) và \( MF = MH \), ta có \( E \) và \( F \) nằm trên tia đối của \( NH \) và \( MH \) tương ứng. - \( \angle EAH = \angle HAF \) (vì \( \angle EAH = 90^\circ - \angle HAN \) và \( \angle HAF = 90^\circ - \angle HAM \)). Do đó, \( E \), \( A \), \( F \) thẳng hàng vì \( \angle EAH + \angle HAF = 180^\circ \). Đáp số: a) Tứ giác \( AMHN \) là hình chữ nhật. b) Tứ giác \( AFMN \) là hình bình hành. c) Ba điểm \( E \), \( A \), \( F \) thẳng hàng. Bài 5 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2025 \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhóm các hạng tử của biểu thức \( M \) sao cho dễ dàng nhận thấy các hằng đẳng thức hoặc các biểu thức có dạng bình phương hoàn chỉnh. \[ M = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2025 \] Bước 2: Ta nhóm lại như sau: \[ M = (x^4 - 2x^3 + x^2) + (2x^2 - 4x + 2) + 2023 \] Bước 3: Ta nhận thấy rằng: \[ x^4 - 2x^3 + x^2 = (x^2 - x)^2 \] \[ 2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x - 1)^2 \] Do đó, ta có: \[ M = (x^2 - x)^2 + 2(x - 1)^2 + 2023 \] Bước 4: Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là: \[ (x^2 - x)^2 \geq 0 \] \[ 2(x - 1)^2 \geq 0 \] Vậy: \[ M = (x^2 - x)^2 + 2(x - 1)^2 + 2023 \geq 2023 \] Bước 5: Để \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần: \[ (x^2 - x)^2 = 0 \] \[ 2(x - 1)^2 = 0 \] Từ đây ta có: \[ x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Như vậy, \( x = 1 \) là giá trị thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Bước 6: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( M \): \[ M = (1^2 - 1)^2 + 2(1 - 1)^2 + 2023 = 0 + 0 + 2023 = 2023 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là 2023, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là 2023, đạt được khi \( x = 1 \).