CMR: số chính phương chia cho 5 dư 0, 1, 4

Để chứng minh rằng số chính phương chia cho 5 dư 0, 1, hoặc 4, chúng ta sẽ xét các trường hợp của số tự nhiên \( n \) khi chia cho 5. Một số tự nhiên \( n \) khi chia cho 5 có thể có các số dư là 0, 1, 2, 3, hoặc 4. Ta sẽ xét từng trường hợp này: 1. \( n = 5k \) (với \( k \) là số tự nhiên) \[ n^2 = (5k)^2 = 25k^2 \] Số \( 25k^2 \) chia hết cho 5, do đó \( n^2 \) chia cho 5 dư 0. 2. \( n = 5k + 1 \) \[ n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 \] Số \( 25k^2 + 10k \) chia hết cho 5, do đó \( n^2 \) chia cho 5 dư 1. 3. \( n = 5k + 2 \) \[ n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 \] Số \( 25k^2 + 20k \) chia hết cho 5, do đó \( n^2 \) chia cho 5 dư 4. 4. \( n = 5k + 3 \) \[ n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 \] Số \( 25k^2 + 30k \) chia hết cho 5, do đó \( n^2 \) chia cho 5 dư 4. 5. \( n = 5k + 4 \) \[ n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 \] Số \( 25k^2 + 40k \) chia hết cho 5, do đó \( n^2 \) chia cho 5 dư 1. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng số chính phương \( n^2 \) khi chia cho 5 chỉ có thể có các số dư là 0, 1, hoặc 4. Vậy ta đã chứng minh được rằng số chính phương chia cho 5 dư 0, 1, hoặc 4.