cho ΔABC,lấy M là trung điểm của cạnh BC.Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MA=MD.chúng minh rằng: a)ΔABM=ΔDMC b)Kẻ AH vuông góc với BC,DK vuông góc với BC(H,K∈BC).Chứng minh BK=CH c)Gọi I là trung...

a. Do M là trung điểm BC nên $\displaystyle BM=MC=\frac{1}{2} BC$
Xét $\displaystyle \vartriangle AMC$ và $\displaystyle \vartriangle DMB$ có
$\displaystyle MC=MB,\ AM=DM,\widehat{AMC} =\widehat{DMB}$ (2 góc đối đỉnh)
Suy ra $\displaystyle \vartriangle AMC\ =\vartriangle DMB$ (cạnh - góc - cạnh)
b. Do $\displaystyle AH\perp BC\Rightarrow \widehat{AHM} =90^{0}$
Do $\displaystyle DK\perp BC\Rightarrow \widehat{DKM} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \vartriangle AHM$ và $\displaystyle \vartriangle DKM$ có
$\displaystyle \widehat{AHM} =\widehat{DKM} =90^{0} ,\ AM=DM,\ \widehat{AMH} =\widehat{DMK}$ (2 góc đối đỉnh)
Suy ra $ $\displaystyle \vartriangle AHM\ =\ \vartriangle DKM$ (cạnh - góc - cạnh)
$\displaystyle \Rightarrow HM=KM$
Ta có
$\displaystyle BM=BH+HM$
$\displaystyle CM=CK+KM$
Mà $\displaystyle BM=CM,\ HM=KM$
$\displaystyle \Rightarrow BH=CK$
c. Xét $\displaystyle \vartriangle BCE$ có $\displaystyle IB=IE,\ BM=MC$
$\displaystyle \Rightarrow $IM là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle BCE$
$\displaystyle \Rightarrow IM\parallel CE,\ IM=\frac{1}{2} CE$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle IA=IC,\ BM=MC$
$\displaystyle \Rightarrow $IM là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Rightarrow IM\parallel AB,\ IM=\frac{1}{2} AB$ (2)
Từ (1) và (2) $\displaystyle \Rightarrow CE\parallel AB,CE=AB$
Do $\displaystyle CE\parallel AB\Rightarrow \widehat{BAC} =\widehat{ACE}$ (2 góc ở vị trí so le trong)
Xét $\displaystyle \vartriangle AMB$ và $\displaystyle \vartriangle DMC$ có
$\displaystyle MC=MB,\ AM=DM,\widehat{AMB} =\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh)
Suy ra $\displaystyle \vartriangle AMB\ =\vartriangle DMC$ (cạnh - góc - cạnh)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{ABM} =\widehat{DCM}$
Ta có:
$\displaystyle \widehat{BCD} +\widehat{BCA} +\widehat{ACE} =\widehat{ABC} +\widehat{BCA} +\widehat{BAC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có $\displaystyle \widehat{ABC} +\widehat{BCA} +\widehat{BAC} =180^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BCD} +\widehat{BCA} +\widehat{ACE} =180^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow $3 điểm D,C,E thẳng hàng
Do $\displaystyle \vartriangle AMB\ =\vartriangle DMC\Rightarrow AB=DC$
Mà $\displaystyle CE=AB\Rightarrow CE=DC$
$\displaystyle \Rightarrow $C là trung điểm DE