Giup mik voi

Câu 1: Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Ta cần tìm giá trị của $u_3$. Công thức để tính số hạng thứ $n$ của cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng công thức này để tìm $u_3$: \[ u_3 = u_1 \cdot q^{3-1} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của $u_3$ là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{2}$. Câu 2: Bài toán 1: Tìm công bội của cấp số nhân Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội là $q > 0$ biết $S_2 = 4$ và $S_3 = 13$. Tìm $q$. Cấp số nhân có dạng: $u_1, u_1q, u_1q^2, ...$ Tổng của hai số đầu tiên: \[ S_2 = u_1 + u_1q = 4 \] \[ u_1(1 + q) = 4 \quad \text{(1)} \] Tổng của ba số đầu tiên: \[ S_3 = u_1 + u_1q + u_1q^2 = 13 \] \[ u_1(1 + q + q^2) = 13 \quad \text{(2)} \] Chia phương trình (2) cho phương trình (1): \[ \frac{u_1(1 + q + q^2)}{u_1(1 + q)} = \frac{13}{4} \] \[ \frac{1 + q + q^2}{1 + q} = \frac{13}{4} \] \[ 1 + q + q^2 = \frac{13}{4}(1 + q) \] \[ 1 + q + q^2 = \frac{13}{4} + \frac{13}{4}q \] \[ 4 + 4q + 4q^2 = 13 + 13q \] \[ 4q^2 - 9q - 9 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ q = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8} = \frac{9 \pm 15}{8} \] \[ q = 3 \quad \text{hoặc} \quad q = -\frac{3}{4} \] Vì $q > 0$, nên $q = 3$. Đáp án: A. $q = 3$. Bài toán 2: Xác định đồ thị của hàm số gián đoạn tại $x = 1$ Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số gián đoạn tại $x = 1$? Để xác định đồ thị của hàm số gián đoạn tại $x = 1$, ta cần kiểm tra các điểm xung quanh $x = 1$ để xem liệu có sự đứt gãy hay không. - Đồ thị A: Không có dấu hiệu gián đoạn tại $x = 1$. - Đồ thị B: Có dấu hiệu gián đoạn tại $x = 1$. - Đồ thị C: Không có dấu hiệu gián đoạn tại $x = 1$. - Đồ thị D: Không có dấu hiệu gián đoạn tại $x = 1$. Do đó, đồ thị của hàm số gián đoạn tại $x = 1$ là đồ thị B. Đáp án: Đồ thị B. Câu 4. Để tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (5n - 3(a^2 - 2)n^3)$, ta cần xem xét phần nào trong biểu thức này sẽ chi phối giá trị của giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng. Biểu thức có dạng: \[ 5n - 3(a^2 - 2)n^3 \] Khi $n$ tiến đến vô cùng, $n^3$ tăng nhanh hơn nhiều so với $n$. Do đó, giới hạn của biểu thức sẽ bị chi phối bởi phần có $n^3$, cụ thể là $-3(a^2 - 2)n^3$. Giới hạn của biểu thức sẽ là: \[ \lim_{n \to \infty} (5n - 3(a^2 - 2)n^3) = \lim_{n \to \infty} -3(a^2 - 2)n^3 \] Để giới hạn này bằng $-\infty$, ta cần: \[ -3(a^2 - 2) < 0 \] \[ a^2 - 2 > 0 \] \[ a^2 > 2 \] Tìm các giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn điều kiện trên: \[ |a| > \sqrt{2} \approx 1.414 \] Do đó, các giá trị nguyên của $a$ phải lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn -1. Các giá trị nguyên của $a$ trong khoảng (-10; 10) thỏa mãn điều kiện này là: \[ a = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \] Số lượng các giá trị nguyên của $a$ là: \[ 16 \] Vậy đáp án đúng là: D. 16 Câu 5: Phát biểu nào sau đây là sai? A. $\frac{1}{n^k} = 0$ (k > 1) B. $\lim u_n = c$ ($u_n = c$ là hằng số) C. $\lim q^n = 0$ (|q| > 1) D. $\lim \frac{1}{n} = 0$ Giải: - A. $\frac{1}{n^k} = 0$ (k > 1): Phát biểu này sai vì $\frac{1}{n^k}$ không bao giờ bằng 0, nó chỉ tiến đến 0 khi n tiến đến vô cùng. - B. $\lim u_n = c$ ($u_n = c$ là hằng số): Phát biểu này đúng vì giới hạn của dãy số hằng số là chính hằng số đó. - C. $\lim q^n = 0$ (|q| > 1): Phát biểu này sai vì nếu |q| > 1 thì $q^n$ sẽ tiến đến vô cùng, không tiến đến 0. - D. $\lim \frac{1}{n} = 0$: Phát biểu này đúng vì $\frac{1}{n}$ tiến đến 0 khi n tiến đến vô cùng. Vậy phát biểu sai là: C. $\lim q^n = 0$ (|q| > 1) Giả sử ta có $\lim_{x \to x_0} f(x) = a > 0$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = -\infty$ B. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = +\infty$ Giải: - Ta biết rằng $\lim_{x \to x_0} f(x) = a > 0$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$. - Khi nhân một số dương với vô cùng dương, kết quả sẽ là vô cùng dương. Do đó, $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = +\infty$. Vậy mệnh đề đúng là: B. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = +\infty$