giúp mình với Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}$ và $B=\frac{\sqrt x+4}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x-3}-\frac{x-15}{x-9}$ với $x\geq0,~x
e9.$,1) Tính giá trị biểu thức A với $x=4.$,2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}.$,3) Cho $P=\frac BA.$ Tìm các số nguyên tố x để $P

Question

giúp mình với Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}$ và $B=\frac{\sqrt x+4}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x-3}-\frac{x-15}{x-9}$ với $x\geq0,~x
e9.$,1) Tính giá trị biểu thức A với $x=4.$,2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}.$,3) Cho $P=\frac BA.$ Tìm các số nguyên tố x để $P<1.$

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq 0, x \neq 9 $.

1) Tính giá trị biểu thức $ A $ với $ x = 4 $:

$$ A = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4} + 1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3} $$

2) Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $:

$$ B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{x - 15}{x - 9} $$

Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức:

$$ B = \frac{(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 3) - (x - 15)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} $$

Tính tử số:

$$ (\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 3) = x - 3\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - 12 = x + \sqrt{x} - 12 $$
$$ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x} - \sqrt{x} - 3 = x + 2\sqrt{x} - 3 $$
$$ x - 15 $$

Tổng lại:

$$ x + \sqrt{x} - 12 + x + 2\sqrt{x} - 3 - (x - 15) = x + \sqrt{x} - 12 + x + 2\sqrt{x} - 3 - x + 15 = x + 3\sqrt{x} $$

Mẫu số:

$$ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) = x - 9 $$

Do đó:

$$ B = \frac{x + 3\sqrt{x}}{x - 9} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$

3) Cho $ P = \frac{B}{A} $. Tìm các số nguyên tố $ x $ để $ P < 1 $:

$$ P = \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} $$

Yêu cầu $ P < 1 $:

$$ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} < 1 $$

$$ \sqrt{x} + 1 < \sqrt{x} - 3 $$

$$ 1 < -3 $$ (không thỏa mãn)

Do đó, không có số nguyên tố $ x $ nào thỏa mãn điều kiện $ P < 1 $.

Đáp số: Không có số nguyên tố $ x $ nào thỏa mãn $ P < 1 $.