Cách làm đề này chi tiết

Câu 5. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = ax^2 + bx + c$, ta cần tìm điểm đỉnh của parabol, vì hàm số đồng biến ở phía bên phải đỉnh parabol. Điểm đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ có hoành độ là $x = -\frac{b}{2a}$. Do $a > 0$, nên parabol mở ra phía trên, tức là hàm số sẽ đồng biến từ đỉnh parabol trở đi. Vậy hàm số $y = ax^2 + bx + c$ đồng biến trong khoảng $(-\frac{b}{2a}; +\infty)$. Đáp án đúng là: B. $(-\frac{b}{2a}; +\infty)$ Câu 6. Để tìm đỉnh của parabol \( y = 3x^2 - 2x + 1 \), ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \): Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( b = -2 \) - \( c = 1 \) Bước 1: Tính hoành độ đỉnh: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 2: Thay \( x = \frac{1}{3} \) vào phương trình \( y = 3x^2 - 2x + 1 \) để tính tung độ đỉnh: \[ y = 3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{3} \right) + 1 \] \[ y = 3 \left( \frac{1}{9} \right) - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = \frac{3}{9} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{3} + 1 \] \[ y = \frac{2}{3} \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol \( y = 3x^2 - 2x + 1 \) là \( \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \). Do đó, điểm đỉnh của (P) là: \[ I \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \] Đáp án đúng là: B. \( I \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \) Câu 7. Áp dụng định lý余弦定理，我们有： \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] 根据题目条件： \[ b^2 + c^2 - a^2 = \sqrt{3bc} \] 将余弦定理代入上述等式中： \[ b^2 + c^2 - (b^2 + c^2 - 2bc \cos A) = \sqrt{3bc} \] \[ 2bc \cos A = \sqrt{3bc} \] 两边同时除以 \(2bc\)： \[ \cos A = \frac{\sqrt{3bc}}{2bc} \] \[ \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 我们知道当 \(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 时，角 \(A\) 的度数为 \(30^\circ\)。 因此，正确答案是： A. \(A = 30^\circ\) 最终答案是：A. \(A = 30^\circ\) Câu 8. Trước tiên, ta cần kiểm tra lại các thông tin đã cho và các khẳng định để đảm bảo rằng chúng phù hợp với dữ liệu ban đầu. 1. Kiểm tra tổng các góc trong tam giác: - Tổng các góc trong tam giác là \(180^\circ\). - Ta có \(A + B + C = 180^\circ\). 2. Tính góc \(B\): - \(C = 46^\circ\) - \(A = 110^\circ\) - \(B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 110^\circ - 46^\circ = 24^\circ\) 3. Áp dụng Định lý sin: - \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) - Biết \(b = 6\) và \(B = 24^\circ\), ta tính \(a\) và \(c\). 4. Tính \(a\): - \(\frac{a}{\sin 110^\circ} = \frac{6}{\sin 24^\circ}\) - \(a = 6 \cdot \frac{\sin 110^\circ}{\sin 24^\circ}\) - \(\sin 110^\circ = \sin (180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ\) - \(a = 6 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 24^\circ}\) - Sử dụng bảng số lượng giác hoặc máy tính: - \(\sin 70^\circ \approx 0,9397\) - \(\sin 24^\circ \approx 0,4067\) - \(a \approx 6 \cdot \frac{0,9397}{0,4067} \approx 13,8\) 5. Tính \(c\): - \(\frac{c}{\sin 46^\circ} = \frac{6}{\sin 24^\circ}\) - \(c = 6 \cdot \frac{\sin 46^\circ}{\sin 24^\circ}\) - Sử dụng bảng số lượng giác hoặc máy tính: - \(\sin 46^\circ \approx 0,7193\) - \(\sin 24^\circ \approx 0,4067\) - \(c \approx 6 \cdot \frac{0,7193}{0,4067} \approx 10,7\) 6. So sánh với các khẳng định: - A. \(B = 24^\circ, a = 13,9, c = 10,6\) - B. \(B = 24^\circ, a = 13,8, c = 10,7\) - C. \(B = 24^\circ, a = 12,7, c = 10,1\) - D. \(B = 24^\circ, a = 12,6, c = 10,2\) Như vậy, khẳng định đúng là: - B. \(B = 24^\circ, a = 13,8, c = 10,7\) Đáp án: B. \(B = 24^\circ, a = 13,8, c = 10,7\) Câu 9. Để xác định hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng gọi là gì, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. Hai vectơ cùng hướng: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ có cùng hướng nhưng không nói về độ dài của chúng. Do đó, nó không đúng hoàn toàn. B. Hai vectơ cùng phương: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau, nhưng không nói về độ dài và hướng của chúng. Do đó, nó cũng không đúng hoàn toàn. C. Hai vectơ đối nhau: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Do đó, nó không đúng vì hai vectơ trong câu hỏi có cùng hướng. D. Hai vectơ bằng nhau: Điều này chỉ nói rằng hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng. Đây là định nghĩa chính xác cho hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng. Vậy, đáp án đúng là: D. Hai vectơ bằng nhau. Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. Khẳng định A: \( AB + AM = AC \) - Ta có \( MA + MC = MB \). - Nếu \( AB + AM = AC \), thì \( AB + AM = AC \) phải đúng. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy điều này là đúng hoặc sai dựa trên điều kiện ban đầu. Khẳng định B: \( BA + BC = BM \) - Ta có \( MA + MC = MB \). - Nếu \( BA + BC = BM \), thì \( BA + BC = BM \) phải đúng. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy điều này là đúng hoặc sai dựa trên điều kiện ban đầu. Khẳng định C: Tứ giác ABCM là hình bình hành. - Để tứ giác ABCM là hình bình hành, ta cần \( AB = CM \) và \( AC = BM \). - Tuy nhiên, từ điều kiện \( MA + MC = MB \), ta không thể suy ra rằng \( AB = CM \) và \( AC = BM \). Do đó, khẳng định này là sai. Khẳng định D: \( MA = BC \) - Ta có \( MA + MC = MB \). - Nếu \( MA = BC \), thì \( MA = BC \) phải đúng. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy điều này là đúng hoặc sai dựa trên điều kiện ban đầu. Từ các phân tích trên, khẳng định C là khẳng định sai vì không có cơ sở để suy ra rằng tứ giác ABCM là hình bình hành dựa trên điều kiện \( MA + MC = MB \). Đáp án: C. Tứ giác ABCM là hình bình hành. Câu 11. Trước tiên, ta cần hiểu rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Điều này có nghĩa là O chia AB thành hai đoạn thẳng bằng nhau, tức là AO = OB. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( AB = 2 \cdot OA \) - Vì O là trung điểm của AB, nên AO = OB. Do đó, AB = AO + OB = AO + AO = 2 \cdot AO. Vậy khẳng định này là đúng. B. \( AB = 2 \cdot OB \) - Cũng vì O là trung điểm của AB, nên AO = OB. Do đó, AB = AO + OB = OB + OB = 2 \cdot OB. Vậy khẳng định này cũng là đúng. C. \( AB = -2 \cdot OB \) - Đây là khẳng định sai vì độ dài đoạn thẳng không thể là số âm. Do đó, khẳng định này là sai. D. \( AO = 2 \cdot AB \) - Vì O là trung điểm của AB, nên AO = \frac{1}{2} \cdot AB. Do đó, khẳng định này là sai. Tóm lại, các khẳng định đúng là: - A. \( AB = 2 \cdot OA \) - B. \( AB = 2 \cdot OB \) Đáp án: A và B. Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng điều kiện \( MA \cdot BC = 0 \) có nghĩa là hoặc \( MA = 0 \) hoặc \( BC = 0 \). - \( MA = 0 \) có nghĩa là điểm \( M \) trùng với điểm \( A \). - \( BC = 0 \) không thể xảy ra vì \( BC \) là độ dài cạnh của tam giác và luôn lớn hơn 0. Do đó, điều kiện duy nhất thoả mãn là \( M \) trùng với \( A \). Vậy tập hợp các điểm \( M \) thoả mãn \( MA \cdot BC = 0 \) là một điểm, cụ thể là điểm \( A \). Đáp án đúng là: A. một điểm.