giupws mình vơi

Câu 7: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định xem chúng đúng hay sai. 1) \( AC = DC \cdot \cot 32^\circ \) - Trong tam giác vuông \( \triangle ADC \), góc \( \angle DAC = 32^\circ \). Do đó, \( \cot 32^\circ = \frac{AC}{DC} \). Từ đây, ta có \( AC = DC \cdot \cot 32^\circ \). Phát biểu này là Đúng. 2) \( BC = DC \cdot \cot 40^\circ \) - Trong tam giác vuông \( \triangle BDC \), góc \( \angle DBC = 40^\circ \). Do đó, \( \cot 40^\circ = \frac{BC}{DC} \). Từ đây, ta có \( BC = DC \cdot \cot 40^\circ \). Phát biểu này là Đúng. 3) \( DC \cdot \cot 32^\circ - DC \cdot \cot 40^\circ = 1 \) - Ta đã biết \( AC = DC \cdot \cot 32^\circ \) và \( BC = DC \cdot \cot 40^\circ \). Vì \( AB = 1 \text{ km} \), ta có: \[ AC - BC = 1 \text{ km} \] Thay vào ta có: \[ DC \cdot \cot 32^\circ - DC \cdot \cot 40^\circ = 1 \] Phát biểu này là Đúng. 4) Chiều cao ngọn núi khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 cao khoảng 2,44 km - Để tính chiều cao ngọn núi \( DC \), ta cần biết giá trị của \( \cot 32^\circ \) và \( \cot 40^\circ \): \[ \cot 32^\circ \approx 1.6003 \] \[ \cot 40^\circ \approx 1.1918 \] - Ta có phương trình: \[ DC \cdot (1.6003 - 1.1918) = 1 \] \[ DC \cdot 0.4085 = 1 \] \[ DC = \frac{1}{0.4085} \approx 2.447 \] - Làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2, ta có \( DC \approx 2.45 \text{ km} \). Phát biểu này là Sai. Tóm lại: 1) Đúng 2) Đúng 3) Đúng 4) Sai Câu 8: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{(-2)^2 \cdot 5} + \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Rút gọn từng thành phần của biểu thức Thành phần 1: \(\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1}\) Ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{2} + 1\) để loại bỏ căn thức ở mẫu: \[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \] Mẫu số: \[ (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1 \] Tử số: \[ (\sqrt{10} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + 1) = \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{10} \cdot 1 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{20} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - \sqrt{5} = \sqrt{5} \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{5} \] Thành phần 2: \(\sqrt{(-2)^2 \cdot 5}\) \[ \sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Thành phần 3: \(\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}\) \[ \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2| \] Vì \(\sqrt{5} \approx 2.236 > 2\), nên: \[ |\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2 \] Bước 2: Kết hợp các thành phần lại \[ A = \sqrt{5} - 2\sqrt{5} + (\sqrt{5} - 2) \] \[ A = \sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 \] \[ A = (\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}) - 2 \] \[ A = 0 - 2 \] \[ A = -2 \] Đáp số: \[ A = -2 \] Câu 9: a) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3y - 2x = 5 \\ x + 3y = 2 \end{array} \right. \] Ta có thể sử dụng phương pháp cộng trừ để giải hệ phương trình này. Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ x = 2 - 3y \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 3y - 2(2 - 3y) = 5 \] \[ 3y - 4 + 6y = 5 \] \[ 9y - 4 = 5 \] \[ 9y = 9 \] \[ y = 1 \] Thay \( y = 1 \) vào \( x = 2 - 3y \): \[ x = 2 - 3 \times 1 \] \[ x = 2 - 3 \] \[ x = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (-1, 1) \] b) Giải bất phương trình: \[ 3(x - 1) - (x + 1)^2 \geq (x - 2)(1 - x) \] Phát triển các biểu thức: \[ 3(x - 1) - (x^2 + 2x + 1) \geq (x - 2)(1 - x) \] \[ 3x - 3 - x^2 - 2x - 1 \geq x - x^2 - 2 + 2x \] \[ -x^2 + x - 4 \geq -x^2 + 3x - 2 \] Bỏ \( -x^2 \) ở cả hai vế: \[ x - 4 \geq 3x - 2 \] Di chuyển các hạng tử: \[ x - 3x \geq -2 + 4 \] \[ -2x \geq 2 \] Chia cả hai vế cho -2 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[ x \leq -1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -1 \] Câu 10: a) Rút gọn biểu thức \( A \): Điều kiện xác định: \( a > 0; a \neq 9 \) Ta có: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{1}{\sqrt{a} + 3} \right) \left( 1 + \frac{3}{\sqrt{a}} \right) \] Tính tổng phân thức trong ngoặc đầu tiên: \[ \frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{1}{\sqrt{a} + 3} = \frac{(\sqrt{a} + 3) + (\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{2\sqrt{a}}{a - 9} \] Nhân với biểu thức còn lại: \[ A = \frac{2\sqrt{a}}{a - 9} \cdot \left( 1 + \frac{3}{\sqrt{a}} \right) = \frac{2\sqrt{a}}{a - 9} \cdot \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a} + 3)}{a - 9} \] Vậy biểu thức rút gọn của \( A \) là: \[ A = \frac{2(\sqrt{a} + 3)}{a - 9} \] b) Tìm \( a \) nguyên để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên: Để \( A \) nhận giá trị nguyên, phân số \( \frac{2(\sqrt{a} + 3)}{a - 9} \) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( a - 9 \) phải là ước của \( 2(\sqrt{a} + 3) \). Xét các trường hợp: - \( a - 9 = 1 \): \( a = 10 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{10} + 3)}{1} = 2(\sqrt{10} + 3) \] \( 2(\sqrt{10} + 3) \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = 2 \): \( a = 11 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{11} + 3)}{2} = \sqrt{11} + 3 \] \( \sqrt{11} + 3 \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = -1 \): \( a = 8 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{8} + 3)}{-1} = -2(\sqrt{8} + 3) \] \( -2(\sqrt{8} + 3) \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = -2 \): \( a = 7 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{7} + 3)}{-2} = -(\sqrt{7} + 3) \] \( -(\sqrt{7} + 3) \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = 4 \): \( a = 13 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{13} + 3)}{4} = \frac{\sqrt{13} + 3}{2} \] \( \frac{\sqrt{13} + 3}{2} \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = -4 \): \( a = 5 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{5} + 3)}{-4} = -\frac{\sqrt{5} + 3}{2} \] \( -\frac{\sqrt{5} + 3}{2} \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = 8 \): \( a = 17 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{17} + 3)}{8} = \frac{\sqrt{17} + 3}{4} \] \( \frac{\sqrt{17} + 3}{4} \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = -8 \): \( a = 1 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{1} + 3)}{-8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} \] \( -\frac{1}{2} \) không phải là số nguyên. - \( a - 9 = 16 \): \( a = 25 \) \[ A = \frac{2(\sqrt{25} + 3)}{16} = \frac{2(5 + 3)}{16} = \frac{16}{16} = 1 \] \( 1 \) là số nguyên. - \( a - 9 = -16 \): \( a = -7 \) (loại vì \( a > 0 \)) Vậy \( a = 25 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên. Đáp số: \( a = 25 \) Câu 11: a) Ta có $\widehat{EAM}=\widehat{ECM}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM) $\widehat{FAN}=\widehat{FCN}$ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN) Tứ giác EMNC nội tiếp nên $\widehat{ECM}+\widehat{FCN}=180^\circ-\widehat{ECF}=180^\circ-\widehat{EAF}$ Tứ giác AFNC nội tiếp nên $\widehat{FAN}+\widehat{FCN}=180^\circ$ Từ đó suy ra $\widehat{FAN}=\widehat{EAM}$ Tương tự ta cũng có $\widehat{FNA}=\widehat{EMA}$ Do đó tam giác EMN đồng dạng với tam giác ANF (g.g) Từ đó suy ra $\frac{EN}{NF}=\frac{EM}{MN}$ Hay $EN\times MN=NF\times EM$ (1) Ta lại có $\widehat{AEN}=\widehat{AFN}$ (cùng bù với $\widehat{FAN}$) $\widehat{ANE}=\widehat{ANF}$ (chung) Do đó tam giác AEN đồng dạng với tam giác AFN (g.g) Từ đó suy ra $\frac{EN}{NF}=\frac{AE}{AF}$ Hay $EN\times AF=NF\times AE$ (2) Từ (1) và (2) ta có: $MN\times AF=AE\times EM$ Hay $MN\times (EF+AF)=AE\times EM$ $MN\times EF=MN\times AE-AE\times EM=AE\times (MN-EM)$ $MN\times EF=AE\times EN=AE\times FN$ (vì tam giác EMN đồng dạng với tam giác ANF) Từ đó suy ra $EF=FN$ (vì MN khác 0) b) Ta có $\widehat{OMA}=\widehat{ONA}=90^\circ$ nên tứ giác OMNA nội tiếp. Do đó $\widehat{OMN}=\widehat{OAN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON) Tương tự ta cũng có $\widehat{ONM}=\widehat{OAM}$ Từ đó suy ra $\widehat{OMN}+\widehat{ONM}=\widehat{OAN}+\widehat{OAM}=90^\circ$ Vậy $\widehat{MON}=90^\circ$ hay $OA\perp MN$ c) Ta có $\widehat{OCD}=\widehat{OAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD) Mà $\widehat{OAC}=\widehat{OMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC) Từ đó suy ra $\widehat{OCD}=\widehat{OMC}=90^\circ$ (vì MC là tiếp tuyến) Vậy OK vuông góc với MC tại K. Ta lại có $\widehat{OKP}=\widehat{OKC}$ (chung) $\widehat{OPK}=\widehat{OCK}=90^\circ$ (vì OK vuông góc với MC) Do đó tam giác OKP đồng dạng với tam giác OKC (g.g) Từ đó suy ra $\frac{OP}{OC}=\frac{OK}{OC}$ Hay $OP=OK$ Vậy P thuộc đường tròn tâm O, bán kính OK. Mà OK vuông góc với MC tại K nên P cũng vuông góc với MC tại K. Vậy PD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 12: Để chứng minh rằng \(a\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6\) với điều kiện \(2\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6\) và \(a^2 + b^2 \leq 2\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và so sánh. Bước 1: Xét biểu thức \(2\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6\). Bước 2: Ta cần chứng minh rằng \(a\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6\). Bước 3: Ta thấy rằng: \[ a\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \] là một nửa của: \[ 2a\sqrt{3a(a+2b)} + 2b\sqrt{3b(b+2a)}. \] Bước 4: Ta sẽ so sánh \(2a\sqrt{3a(a+2b)} + 2b\sqrt{3b(b+2a)}\) với \(2\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)}\). Bước 5: Ta nhận thấy rằng: \[ 2a\sqrt{3a(a+2b)} + 2b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 2\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)}. \] Bước 6: Vì \(a\) và \(b\) là các số không âm, nên ta có: \[ 2a\sqrt{3a(a+2b)} \leq 2\sqrt{3a(a+2b)}, \] \[ 2b\sqrt{3b(b+2a)} \leq b\sqrt{3b(b+2a)}. \] Bước 7: Do đó: \[ 2a\sqrt{3a(a+2b)} + 2b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 2\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)}. \] Bước 8: Từ điều kiện \(2\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6\), ta suy ra: \[ 2a\sqrt{3a(a+2b)} + 2b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6. \] Bước 9: Chia cả hai vế cho 2, ta được: \[ a\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 3. \] Bước 10: Kết luận: \[ a\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6. \] Đáp số: \(a\sqrt{3a(a+2b)} + b\sqrt{3b(b+2a)} \leq 6\).