Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 2. Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB. Lấy C thuộc đường tròn (O) (C,khác A và B). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.,a) Chứng minh tam giác ABC vuông và $BC.BM=4R^2:$,b) Gọi K là trung điểm của MA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của (O) ;,c) Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại D. Chứng minh $MO\bot AD.$

Question

Accepted Answer

a) Xét tam giác ABC có: $\displaystyle OC=\frac{1}{2} AB( =R)$
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle ABC$ vuông tại C (Tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông ABM, đường cao AC có:
$\displaystyle AB^{2} =BC.BM$ (hệ thức lượng)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow ( 2R)^{2} =BC.BM\
\Rightarrow 4R^{2} =BC.BM
\end{array}$
b) Xét tam giác vuông ACM có: $\displaystyle KC=\frac{1}{2} AM=KA=KM$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle KAC$ cân tại A
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{KAC} =\widehat{KCA}$
Tam giác OAC có $\displaystyle OA=OC\Rightarrow \vartriangle OAC$ cân tại O
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{OAC} =\widehat{OCA}\
\Rightarrow \widehat{OCK} =\widehat{OCA} +\widehat{KCA} =\widehat{OAC} +\widehat{KAC} =\widehat{OAK} =90^{o}\
\Rightarrow KC\bot OC
\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow $KC là tiếp tuyến của (O) tại C.
c) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: OK, OD lần lượt là phân giác góc $\displaystyle \widehat{AOC} ,\widehat{BOC}$
$\displaystyle \Rightarrow OK\bot OD$ (phân giác của 2 góc kề bù)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle KOD$ vuông tại O
Lại có $\displaystyle BD=CD$
$\displaystyle \Rightarrow AM.BD=2.CK.CD=2.OC^{2} =2R^{2}$ (hệ thức lượng)
Ta có: $\displaystyle OA.AB=R.2R=2R^{2}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow OA.AB=AM.BD\
\Rightarrow \frac{OA}{BD} =\frac{AM}{AB}
\end{array}$
Xét tam giác OAM và tam giác DBA có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{OAM} =\widehat{DBA} =90^{o}\
\frac{OA}{BD} =\frac{AM}{AB}\
\Rightarrow \vartriangle OAM\backsim \vartriangle DBA\ ( c.g.c)\
\Rightarrow \widehat{AOM} =\widehat{BDO}
\end{array}$
Gọi I là giao điểm của MO và AD.

Xét tam giác OAI có:
$\displaystyle \widehat{IAO} +\widehat{IOA} =\widehat{IAO} +\widehat{AOM} =\widehat{IAO} +\widehat{BDO} =90^{o}$ (do tam giác ABD vuông tại B)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle OAI$ vuông tại I
$\displaystyle \Rightarrow AI\bot OI$ hay $\displaystyle MO\bot AD$