Bài 12.
Theo đề bài, ta có:
- Tiếp tuyến AM và cát tuyến ABC qua O.
- cm, cm.
Áp dụng tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến, ta có:
Thay các giá trị đã biết vào công thức trên:
Giải phương trình để tìm AB:
Biết rằng AB = AO - BO, và vì O là tâm đường tròn nên AO = R và BO = R. Do đó:
Vậy bán kính R của đường tròn là:
Đáp số: cm.
Bài 13.
Điều kiện xác định: .
Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức:
Bước 2: Chuyển các hạng tử không chứa căn sang một vế:
Bước 3: Bình phương lại để loại bỏ căn thức:
Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
Bước 5: Giải phương trình bậc hai:
Phương trình này có dạng , ta sử dụng công thức nghiệm:
Ở đây, , , :
Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định và nghiệm dương:
- thỏa mãn điều kiện và là nghiệm dương.
- không thỏa mãn điều kiện và không là nghiệm dương.
Vậy nghiệm dương của phương trình là .
Đáp số: .
Bài 14.
Để đồ thị của hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 1, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng với trục tung và trục hoành.
1. Tìm giao điểm với trục tung (Oy):
- Thay vào phương trình:
Vậy giao điểm với trục tung là .
2. Tìm giao điểm với trục hoành (Ox):
- Thay vào phương trình:
Vậy giao điểm với trục hoành là .
3. Diện tích tam giác OAB:
- Diện tích tam giác OAB là:
Trong đó, và .
- Ta có:
- Yêu cầu diện tích tam giác là 1:
4. Xét các trường hợp:
- Trường hợp 1: , tức là
Phương trình này vô nghiệm vì luôn dương.
- Trường hợp 2: , tức là
Giải phương trình bậc hai:
Vậy giá trị của là hoặc .
Bài 15.
Đầu tiên, ta cần tìm bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường tròn ngoại tiếp sẽ có đường kính là cạnh huyền BC.
Ta tính BC bằng định lý Pythagoras:
Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp là:
Tiếp theo, ta cần tìm bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Công thức tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác là:
Trong đó, A là diện tích tam giác và s là nửa chu vi tam giác.
Diện tích tam giác ABC là:
Chu vi tam giác ABC là:
Nửa chu vi tam giác ABC là:
Bán kính r của đường tròn nội tiếp là:
Cuối cùng, ta cần tính OI^2, trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp. Công thức tính OI^2 là:
Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:
Vậy giá trị của OI^2 là:
Bài 16.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với và là các số dương có tổng bằng 1, ta thực hiện các bước sau:
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Ta có:
Vì , nên:
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Do , ta có:
3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
Ta có:
Vì , ta có:
Do đó:
Suy ra:
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Do , ta có:
5. Tổng hợp lại:
Ta có:
6. Kiểm tra điều kiện để đạt giá trị nhỏ nhất:
Để đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần và . Điều này xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 12, đạt được khi .
Đáp số: 12
Bài 17.
Để biểu thức là số nguyên tố, ta cần tìm giá trị của sao cho là số nguyên tố.
Ta sẽ thử các giá trị của để kiểm tra xem có là số nguyên tố hay không.
1. Thử với :
Số 13 là số nguyên tố.
2. Thử với :
Số 147 không phải là số nguyên tố (147 = 3 × 49).
3. Thử với :
Số 465 không phải là số nguyên tố (465 = 3 × 155).
4. Thử với :
Số 1075 không phải là số nguyên tố (1075 = 5 × 215).
Từ các phép thử trên, ta thấy rằng chỉ có làm cho là số nguyên tố.
Vậy số tự nhiên thỏa mãn là .
Bài 18.
Để tìm tung độ của điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và parabol , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol:
Ta thay phương trình của đường thẳng vào phương trình của parabol:
Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số:
Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
2. Giải phương trình bậc hai:
Phương trình này có dạng . Do đó, nghiệm duy nhất là:
3. Tìm tung độ của điểm tiếp xúc:
Thay vào phương trình của đường thẳng :
Vậy, tung độ của điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và parabol là 2.
Đáp số: 2
Bài 19.
Thay vào phương trình đã cho ta có:
Phương trình trở thành:
hoặc
Nghiệm còn lại của phương trình là
Bài 20.
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi , trong đó .
Trong phương trình này, , , và . Ta có:
Để phương trình có nghiệm kép, ta cần :
Chia cả hai vế cho 4:
Khi , phương trình trở thành:
Phương trình này có nghiệm kép là:
Vậy nghiệm kép của phương trình là .
Đáp số: .
Bài 21.
Để đường thẳng tiếp xúc với parabol , ta cần tìm giá trị của sao cho phương trình hoành độ giao điểm của và có nghiệm kép.
Phương trình hoành độ giao điểm:
Để đường thẳng tiếp xúc với parabol, phương trình này phải có nghiệm kép, tức là:
Tính :
Để , ta có:
Vậy giá trị của là:
Bài 22.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và dây cung của đường tròn.
1. Xác định các góc liên quan:
- Số đo cung nhỏ AB là .
- Gọi và là bán kính của đường tròn (O).
- Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C.
2. Tính góc giữa tiếp tuyến và bán kính:
- Theo tính chất của tiếp tuyến, góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc là .
- Vậy góc và góc .
3. Tính góc :
- Số đo góc tâm bằng số đo cung nhỏ AB, tức là .
4. Tính góc :
- Xét tam giác và :
- và đều là tam giác vuông tại và lần lượt.
- Góc nằm ở đỉnh của tam giác , và nó là góc ngoài của tam giác .
- Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó:
Vậy số đo góc là .
Đáp số: .
Bài 23.
Để đường thẳng tiếp xúc với parabol tại điểm có hoành độ bằng 2, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.
Thay vào phương trình của :
Vậy điểm tiếp xúc là .
Bước 2: Tìm giá trị của sao cho đường thẳng đi qua điểm .
Thay tọa độ điểm vào phương trình của :
Giải phương trình này để tìm :
Vậy giá trị của là 8.
Đáp số: .
Bài 24.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các điểm và đoạn thẳng trên đường tròn.
2. Tìm số đo các góc liên quan.
3. Xác định số đo góc .
Bước 1: Xác định các điểm và đoạn thẳng trên đường tròn
- Ta có đường tròn với hai dây và .
- Tia nằm giữa hai tia và .
- Vẽ dây song song với .
Bước 2: Tìm số đo các góc liên quan
- Vì , ta có tam giác là tam giác vuông cân tại . Do đó, .
- Vì , ta có tam giác là tam giác đều. Do đó, .
- Vì song song với , ta có .
Bước 3: Xác định số đo góc
- Tiếp tuyến tại và cắt nhau tại . Ta biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến bằng 180 độ trừ đi hai lần góc giữa bán kính và dây cung tương ứng.
- Ta có và (góc giữa tiếp tuyến và bán kính).
- Số đo góc là:
Vậy số đo góc là .
Đáp số: .