Gdhdjđnznbzjjzjz

Câu 15. Điều kiện xác định: \( x > 0, y > 0, x \neq y \). Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} \right) : \frac{2\sqrt{y}}{x - y} \] Trước tiên, ta quy đồng mẫu số của hai phân thức trong ngoặc: \[ \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y}(x - \sqrt{xy}) + \sqrt{y}(x + \sqrt{xy})}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} \] Tính tử số: \[ \sqrt{y}(x - \sqrt{xy}) + \sqrt{y}(x + \sqrt{xy}) = \sqrt{y}x - \sqrt{y}\sqrt{xy} + \sqrt{y}x + \sqrt{y}\sqrt{xy} = 2\sqrt{y}x \] Tính mẫu số: \[ (x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy}) = x^2 - (\sqrt{xy})^2 = x^2 - xy \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} = \frac{2\sqrt{y}x}{x^2 - xy} = \frac{2\sqrt{y}x}{x(x - y)} = \frac{2\sqrt{y}}{x - y} \] Bây giờ, ta chia biểu thức này cho \(\frac{2\sqrt{y}}{x - y}\): \[ A = \frac{2\sqrt{y}}{x - y} : \frac{2\sqrt{y}}{x - y} = \frac{2\sqrt{y}}{x - y} \times \frac{x - y}{2\sqrt{y}} = 1 \] Vậy, biểu thức \( A \) rút gọn là: \[ A = 1 \]