giúp em với ạ

Câu 3. Để so sánh \(x\) và \(y\) dựa trên điều kiện \(x - 3 \pounds y - 3\), chúng ta sẽ xét từng trường hợp của dấu \(\pounds\): 1. Nếu \(\pounds\) là dấu \(<\): \[ x - 3 < y - 3 \] Thêm 3 vào cả hai vế: \[ x < y \] 2. Nếu \(\pounds\) là dấu \(=\): \[ x - 3 = y - 3 \] Thêm 3 vào cả hai vế: \[ x = y \] 3. Nếu \(\pounds\) là dấu \(>\): \[ x - 3 > y - 3 \] Thêm 3 vào cả hai vế: \[ x > y \] Như vậy, tùy thuộc vào dấu \(\pounds\), ta có các khả năng: - \(x < y\) - \(x = y\) - \(x > y\) Do đó, đáp án đúng là \(D.~x~\pounds~y.\) Đáp án sai là: - \(A.~x < y\) - \(B.~x = y\) - \(C.~x > y\) Vậy đáp án sai là \(A, B, C\). Đáp án đúng là \(D.~x~\pounds~y.\) Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần áp dụng quy tắc về so sánh các số khi nhân hoặc chia với một số âm. Nếu \( a > b \), khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với một số âm, ta sẽ phải đảo ngược dấu bất đẳng thức. Do đó: \[ a > b \] Nhân cả hai vế với \(-3\) (số âm): \[ -3a < -3b \] Vậy, câu đúng là: \[ B.~ -3a < -3b \] Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng hệ phương trình một để xác định xem chúng có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hay vô nghiệm. Hệ (I): \[ \begin{cases} x = y - 1 \\ \frac{1}{t} y = x + 1 \end{cases} \] Thay \( x = y - 1 \) vào phương trình thứ hai: \[ \frac{1}{t} y = (y - 1) + 1 \] \[ \frac{1}{t} y = y \] Nếu \( t \neq 1 \), ta có: \[ \frac{1}{t} y = y \implies y \left( \frac{1}{t} - 1 \right) = 0 \] Do đó, \( y = 0 \) hoặc \( \frac{1}{t} - 1 = 0 \). Nếu \( y = 0 \), thay vào \( x = y - 1 \) ta có \( x = -1 \). Nếu \( \frac{1}{t} - 1 = 0 \), tức là \( t = 1 \), thì phương trình này không cung cấp thông tin mới về \( y \). Vậy, nếu \( t \neq 1 \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) = (-1, 0) \). Nếu \( t = 1 \), hệ phương trình có vô số nghiệm vì \( y \) có thể là bất kỳ giá trị nào và \( x = y - 1 \). Hệ (II): \[ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3y + 5 = 2x \end{cases} \] Ta thấy rằng phương trình thứ hai có thể viết lại thành: \[ 2x = 3y + 5 \] Điều này trùng khớp với phương trình thứ nhất: \[ 2x - 3y = 5 \] Vậy, hệ phương trình này có vô số nghiệm vì hai phương trình là một. Kết luận: - Hệ (I) có nghiệm duy nhất nếu \( t \neq 1 \) và có vô số nghiệm nếu \( t = 1 \). - Hệ (II) có vô số nghiệm. Do đó, kết luận đúng là: D. Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm (nếu \( t = 1 \)). Tuy nhiên, nếu \( t \neq 1 \), hệ (I) có nghiệm duy nhất và hệ (II) có vô số nghiệm. Vì vậy, câu trả lời chính xác nhất dựa trên các lựa chọn đã cho là: C. Hệ (I) vô nghiệm, hệ (II) có nghiệm duy nhất (nếu \( t \neq 1 \)). Câu 6. Gọi vận tốc của người thứ nhất là \( v_1 \) (km/h) và vận tốc của người thứ hai là \( v_2 \) (km/h). - Thời gian để hai người gặp nhau là 2 giờ. - Tổng quãng đường hai người đi được trong 2 giờ là 38 km. - Người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2 km. Ta có: \[ 2v_1 + 2v_2 = 38 \] \[ 2v_1 - 2v_2 = 2 \] Chia cả hai phương trình cho 2: \[ v_1 + v_2 = 19 \] \[ v_1 - v_2 = 1 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 19 + 1 \] \[ 2v_1 = 20 \] \[ v_1 = 10 \] Thay \( v_1 = 10 \) vào phương trình \( v_1 + v_2 = 19 \): \[ 10 + v_2 = 19 \] \[ v_2 = 9 \] Vậy vận tốc của người thứ nhất là 10 km/h. Đáp án đúng là: D. 10 km/h. Câu 7. Để biểu thức $\sqrt{10+100x}$ xác định, ta cần: \[10 + 100x \geq 0\] Giải bất phương trình này: \[100x \geq -10\] \[x \geq -\frac{10}{100}\] \[x \geq -\frac{1}{10}\] Vậy biểu thức $\sqrt{10+100x}$ xác định khi: \[x \geq -\frac{1}{10}\] Do đó, đáp án đúng là: \[C.~x~^3\frac{1}{10}\] Câu 8. Để rút gọn biểu thức $5\sqrt a - 4b\sqrt{25a^3} + 5a\sqrt{16ab^2} - \sqrt{9a}$ với điều kiện $a > 0, b > 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn từng phần của biểu thức: - $\sqrt{25a^3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^3} = 5a\sqrt{a}$ - $\sqrt{16ab^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b^2} = 4b\sqrt{a}$ - $\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$ 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 5\sqrt{a} - 4b(5a\sqrt{a}) + 5a(4b\sqrt{a}) - 3\sqrt{a} \] 3. Nhân và rút gọn: \[ 5\sqrt{a} - 20ab\sqrt{a} + 20ab\sqrt{a} - 3\sqrt{a} \] 4. Gộp các hạng tử giống nhau: \[ (5\sqrt{a} - 3\sqrt{a}) + (-20ab\sqrt{a} + 20ab\sqrt{a}) \] \[ = 2\sqrt{a} + 0 \] \[ = 2\sqrt{a} \] Vậy kết quả rút gọn của biểu thức là $2\sqrt{a}$. Đáp án đúng là: $D.~2\sqrt{a}$. Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của các hàm lượng giác và mối liên hệ giữa các góc phụ nhau. 1. Xác định góc phụ nhau: - Ta biết rằng nếu \(a\) và \(b\) là hai góc nhọn và \(a + b = 90^\circ\), thì \(a\) và \(b\) là hai góc phụ nhau. 2. Tính chất của các hàm lượng giác: - Khi hai góc là góc phụ nhau, ta có: \[ \sin a = \cos b \] \[ \cos a = \sin b \] \[ \tan a = \cot b \] 3. Kiểm tra các khẳng định: - Khẳng định A: \(\tan a = \sin b\) - Sai, vì \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\) và \(\sin b = \cos a\), nên \(\tan a \neq \sin b\). - Khẳng định B: \(\tan a = \cot b\) - Đúng, vì \(\cot b = \frac{1}{\tan b}\) và do \(a\) và \(b\) là góc phụ nhau, ta có \(\tan a = \cot b\). - Khẳng định C: \(\tan a = \cos b\) - Sai, vì \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\) và \(\cos b = \sin a\), nên \(\tan a \neq \cos b\). - Khẳng định D: \(\tan a = \tan b\) - Sai, vì \(a\) và \(b\) là góc phụ nhau, nên \(\tan a \neq \tan b\). Kết luận: Khẳng định đúng là B. \(\tan a = \cot b\). Đáp án: B. Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần dựa vào các tính chất của đường tròn. 1. Tính chất đường kính và dây cung: - Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm của đường tròn và nối hai điểm trên đường tròn. - Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn nhưng không đi qua tâm. 2. So sánh đường kính và dây cung: - Trong một đường tròn, đường kính luôn là đoạn thẳng dài nhất nối hai điểm trên đường tròn. - Dây cung không đi qua tâm sẽ luôn ngắn hơn đường kính. Do đó, trong trường hợp này, đường kính AB luôn lớn hơn dây cung CD. Đáp án đúng là: $A.~AB>CD.$ Câu 11. Độ dài cung của một đường tròn được tính bằng công thức: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \] Trong đó: - \( \theta \) là góc tâm của cung (đơn vị: độ), - \( r \) là bán kính của đường tròn, - \( \pi \) là hằng số Pi (khoảng 3,14). Áp dụng vào bài toán: - Góc tâm \( \theta = 30^\circ \), - Bán kính \( r = 4 \text{ dm} \). Thay các giá trị vào công thức: \[ l = \frac{30^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 4 \] Rút gọn phân số: \[ l = \frac{1}{12} \times 2\pi \times 4 \] Nhân các số lại: \[ l = \frac{1}{12} \times 8\pi \] \[ l = \frac{8\pi}{12} \] \[ l = \frac{2\pi}{3} \text{ dm} \] Vậy độ dài cung là: \[ \boxed{\frac{2\pi}{3} \text{ dm}} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{2\pi}{3} \text{ dm}$. Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn. 1. Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung: - Đường thẳng nằm hoàn toàn bên ngoài đường tròn và không cắt qua đường tròn. 2. Đường thẳng và đường tròn có một điểm chung: - Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất. Đây là trường hợp tiếp tuyến của đường tròn. 3. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung: - Đường thẳng cắt qua đường tròn tại hai điểm khác nhau. Như vậy, đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung? Câu trả lời là 2 điểm chung. Do đó, đáp án đúng là: B. 2.