Giuap em giả

e) $\frac{12}{\sqrt{3}} - \frac{6}{2 - \sqrt{3}}$ Đầu tiên, ta có thể rút gọn phân số đầu tiên: \[ \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \] Tiếp theo, ta có thể làm phân số thứ hai bằng cách nhân tử đồng dạng: \[ \frac{6}{2 - \sqrt{3}} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{6(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 6(2 + \sqrt{3}) = 12 + 6 \sqrt{3} \] Vậy: \[ \frac{12}{\sqrt{3}} - \frac{6}{2 - \sqrt{3}} = 4 \sqrt{3} - (12 + 6 \sqrt{3}) = 4 \sqrt{3} - 12 - 6 \sqrt{3} = -12 - 2 \sqrt{3} \] f) $\sqrt{32 - 4 \sqrt{60}} - \sqrt{\frac{2}{4 + \sqrt{15}}}$ Ta nhận thấy rằng $32 - 4 \sqrt{60}$ có thể viết dưới dạng $(a - b)^2$. Ta thử tìm $a$ và $b$ sao cho: \[ 32 - 4 \sqrt{60} = (a - b)^2 \] \[ 32 - 4 \sqrt{60} = a^2 + b^2 - 2ab \] Ta chọn $a = 6$ và $b = 2 \sqrt{15}$: \[ 32 - 4 \sqrt{60} = 6^2 + (2 \sqrt{15})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{15} = 36 + 60 - 24 \sqrt{15} = 32 - 4 \sqrt{60} \] Do đó: \[ \sqrt{32 - 4 \sqrt{60}} = 6 - 2 \sqrt{15} \] Tiếp theo, ta làm phân số thứ hai bằng cách nhân tử đồng dạng: \[ \sqrt{\frac{2}{4 + \sqrt{15}}} = \sqrt{\frac{2(4 - \sqrt{15})}{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})}} = \sqrt{\frac{2(4 - \sqrt{15})}{16 - 15}} = \sqrt{2(4 - \sqrt{15})} = \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} \] Vậy: \[ \sqrt{32 - 4 \sqrt{60}} - \sqrt{\frac{2}{4 + \sqrt{15}}} = 6 - 2 \sqrt{15} - \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} \] g) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 1} - \frac{7}{\sqrt{7}} + \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ Ta làm phân số đầu tiên bằng cách nhân tử đồng dạng: \[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + 1)}{4} \] Phân số thứ hai: \[ \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \sqrt{7}}{7} = \sqrt{7} \] Phân số thứ ba: \[ \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5} = \sqrt{7} + \sqrt{2} \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 1} - \frac{7}{\sqrt{7}} + \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + 1)}{4} - \sqrt{7} + \sqrt{7} + \sqrt{2} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + 1)}{4} + \sqrt{2} \] h) $(3 - \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}})(3 + \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1})$ Ta làm phân số đầu tiên bằng cách nhân tử đồng dạng: \[ \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} \] Phân số thứ hai: \[ \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(5 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{(5 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{(5 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{4} \] Vậy: \[ (3 - \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}})(3 + \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}) = (3 - \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2})(3 + \frac{(5 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{4}) \] Đáp số: e) $-12 - 2 \sqrt{3}$ f) $6 - 2 \sqrt{15} - \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}}$ g) $\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + 1)}{4} + \sqrt{2}$ h) $(3 - \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2})(3 + \frac{(5 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)}{4})$