giúp tui với

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem đa thức \(12x - 36 - x^2\) có thể bằng một trong các lựa chọn đã cho hay không. A. \( -(x + 6)^2 \) Bước 1: Ta mở rộng \( -(x + 6)^2 \): \[ -(x + 6)^2 = -(x^2 + 12x + 36) = -x^2 - 12x - 36 \] Bước 2: So sánh với đa thức ban đầu \(12x - 36 - x^2\): \[ -x^2 - 12x - 36 \neq 12x - 36 - x^2 \] Vậy đáp án A không đúng. B. \( (-x - 6)^2 \) Bước 1: Ta mở rộng \( (-x - 6)^2 \): \[ (-x - 6)^2 = x^2 + 12x + 36 \] Bước 2: So sánh với đa thức ban đầu \(12x - 36 - x^2\): \[ x^2 + 12x + 36 \neq 12x - 36 - x^2 \] Vậy đáp án B không đúng. C. \( (-x + 6)^3 \) Bước 1: Ta mở rộng \( (-x + 6)^3 \): \[ (-x + 6)^3 = (-x + 6)(-x + 6)(-x + 6) \] \[ = (-x + 6)(x^2 - 12x + 36) \] \[ = -x^3 + 12x^2 - 36x + 6x^2 - 72x + 216 \] \[ = -x^3 + 18x^2 - 108x + 216 \] Bước 2: So sánh với đa thức ban đầu \(12x - 36 - x^2\): \[ -x^3 + 18x^2 - 108x + 216 \neq 12x - 36 - x^2 \] Vậy đáp án C không đúng. D. \( -(x - 6)^2 \) Bước 1: Ta mở rộng \( -(x - 6)^2 \): \[ -(x - 6)^2 = -(x^2 - 12x + 36) = -x^2 + 12x - 36 \] Bước 2: So sánh với đa thức ban đầu \(12x - 36 - x^2\): \[ -x^2 + 12x - 36 = 12x - 36 - x^2 \] Vậy đáp án D đúng. Đáp án: D. \( -(x - 6)^2 \) Câu 2: Để thực hiện phép cộng $\frac{3x-1}{3x-3}+\frac{-2}{3x-3}$, ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Ta thấy mẫu số chung là $3x-3$, do đó điều kiện xác định là $3x-3 \neq 0$, tức là $x \neq 1$. 2. Thực hiện phép cộng phân số: - Vì hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số lại với nhau và giữ nguyên mẫu số: \[ \frac{3x-1}{3x-3} + \frac{-2}{3x-3} = \frac{(3x-1) + (-2)}{3x-3} \] - Cộng tử số: \[ (3x-1) + (-2) = 3x - 1 - 2 = 3x - 3 \] - Vậy kết quả của phép cộng là: \[ \frac{3x-3}{3x-3} \] 3. Rút gọn phân số: - Ta thấy tử số và mẫu số đều bằng nhau, do đó phân số này rút gọn thành 1: \[ \frac{3x-3}{3x-3} = 1 \] Vậy đáp án đúng là C. 1. Đáp số: C. 1 Câu 3: Để rút gọn biểu thức \((x-2y)(x^2+2xy+4y^2)-(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)\), ta sẽ thực hiện các phép nhân và trừ theo từng bước. Bước 1: Nhân từng nhóm biểu thức. \((x-2y)(x^2+2xy+4y^2)\) Áp dụng công thức nhân đa thức với đa thức: \[ = x(x^2+2xy+4y^2) - 2y(x^2+2xy+4y^2) \] \[ = x^3 + 2x^2y + 4xy^2 - 2yx^2 - 4xy^2 - 8y^3 \] \[ = x^3 + 2x^2y - 2x^2y + 4xy^2 - 4xy^2 - 8y^3 \] \[ = x^3 - 8y^3 \] Tương tự, ta nhân nhóm biểu thức thứ hai: \((x+2y)(x^2-2xy+4y^2)\) \[ = x(x^2-2xy+4y^2) + 2y(x^2-2xy+4y^2) \] \[ = x^3 - 2x^2y + 4xy^2 + 2yx^2 - 4xy^2 + 8y^3 \] \[ = x^3 - 2x^2y + 2x^2y + 4xy^2 - 4xy^2 + 8y^3 \] \[ = x^3 + 8y^3 \] Bước 2: Trừ hai kết quả vừa tìm được: \[ (x^3 - 8y^3) - (x^3 + 8y^3) \] \[ = x^3 - 8y^3 - x^3 - 8y^3 \] \[ = -16y^3 \] Vậy kết quả rút gọn biểu thức là \(-16y^3\). Đáp án đúng là: A. \(-16y^3\) Câu 4: Để tìm số dư khi chia đa thức \(3x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2\) cho đa thức \(x - 2\), ta sử dụng phương pháp Horner. Bước 1: Viết các hệ số của đa thức \(3x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2\) theo thứ tự từ cao xuống thấp: \[3, -2, 1, -2, 2\] Bước 2: Lấy \(x = 2\) và thực hiện phép chia theo phương pháp Horner: \[ \begin{array}{r|rrrrr} & 3 & -2 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & & 6 & 8 & 18 & 32 \\ \hline & 3 & 4 & 9 & 16 & 34 \\ \end{array} \] - Đầu tiên, lấy 3 nhân với 2 rồi cộng với -2: \(3 \times 2 + (-2) = 6 - 2 = 4\) - Tiếp theo, lấy 4 nhân với 2 rồi cộng với 1: \(4 \times 2 + 1 = 8 + 1 = 9\) - Sau đó, lấy 9 nhân với 2 rồi cộng với -2: \(9 \times 2 + (-2) = 18 - 2 = 16\) - Cuối cùng, lấy 16 nhân với 2 rồi cộng với 2: \(16 \times 2 + 2 = 32 + 2 = 34\) Bước 3: Số dư khi chia đa thức \(3x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2\) cho đa thức \(x - 2\) là 34. Vậy đáp án đúng là B. 34. Câu 5: Để tìm độ dài cạnh của hình vuông khi biết độ dài đường chéo, ta có thể sử dụng công thức liên quan đến đường chéo của hình vuông. Giả sử độ dài cạnh của hình vuông là \( a \) cm. Đường chéo của hình vuông sẽ là \( a\sqrt{2} \) cm. Theo đề bài, độ dài đường chéo là 6 cm. Vậy ta có phương trình: \[ a\sqrt{2} = 6 \] Chia cả hai vế của phương trình cho \( \sqrt{2} \): \[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} \] Rationalize mẫu số: \[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] Vậy độ dài cạnh của hình vuông là \( 3\sqrt{2} \) cm. Do đó, đáp án đúng là: A. \( 3\sqrt{2} \) cm Câu 6: Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 15 m². Nếu ta tăng chiều dài lên 2 lần và chiều rộng lên 3 lần, diện tích mới sẽ là: Diện tích mới = Diện tích ban đầu × 2 × 3 Diện tích mới = 15 × 2 × 3 Diện tích mới = 15 × 6 Diện tích mới = 90 m² Vậy diện tích của hình chữ nhật mới là 90 m². Đáp án đúng là: C. 90 m² Câu 7: Trước tiên, ta biết rằng tổng các góc kề một cạnh bên của hình thang cân bằng 180°. Vì vậy, ta có: \[ \angle A + \angle D = 180^\circ \] Biết rằng \(\angle A = 135^\circ\), ta tính \(\angle D\) như sau: \[ \angle D = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] Vì hình thang cân có hai góc kề một cạnh bên bằng nhau, nên \(\angle B = \angle D\). Do đó: \[ \angle B = 45^\circ \] Vậy góc \(C\) cũng sẽ bằng góc \(B\) vì chúng là hai góc kề một cạnh bên của hình thang cân: \[ \angle C = 45^\circ \] Đáp án đúng là: B. \(45^\circ\) Câu 8: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các loại hình học khác. 1. Tứ giác có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của một tứ giác: - Khi ta lấy các đỉnh là trung điểm của các cạnh của một tứ giác, ta tạo ra một tứ giác mới. Tứ giác này sẽ là hình bình hành vì các đường chéo của nó sẽ cắt đôi nhau. 2. Hai đường chéo của tứ giác ban đầu bằng nhau: - Nếu hai đường chéo của tứ giác ban đầu bằng nhau, thì tứ giác mới (tứ giác có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ giác ban đầu) sẽ là hình chữ nhật. Điều này là do các đường chéo của hình bình hành này cũng sẽ bằng nhau và cắt đôi nhau, tạo thành các góc vuông. Do đó, tứ giác có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Đáp án đúng là: B. Hình chữ nhật. Bài 1: A. Phân tích đa thức thành nhân tử \(6xy + 12x - 4y - 8\): Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp để dễ dàng tìm nhân tử chung: \[6xy + 12x - 4y - 8 = (6xy + 12x) - (4y + 8)\] Nhóm \(6xy + 12x\) có nhân tử chung là \(6x\): \[6xy + 12x = 6x(y + 2)\] Nhóm \(-4y - 8\) có nhân tử chung là \(-4\): \[-4y - 8 = -4(y + 2)\] Vậy ta có: \[6xy + 12x - 4y - 8 = 6x(y + 2) - 4(y + 2)\] Nhận thấy \(y + 2\) là nhân tử chung của cả hai nhóm, ta đặt \(y + 2\) ra ngoài: \[6xy + 12x - 4y - 8 = (y + 2)(6x - 4)\] B. Phân tích đa thức thành nhân tử \(x^3 + 2x^2 - x - 2\): Ta nhóm các hạng tử lại theo cặp để dễ dàng tìm nhân tử chung: \[x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^3 + 2x^2) - (x + 2)\] Nhóm \(x^3 + 2x^2\) có nhân tử chung là \(x^2\): \[x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2)\] Nhóm \(-x - 2\) có nhân tử chung là \(-1\): \[-x - 2 = -(x + 2)\] Vậy ta có: \[x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^2(x + 2) - (x + 2)\] Nhận thấy \(x + 2\) là nhân tử chung của cả hai nhóm, ta đặt \(x + 2\) ra ngoài: \[x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 2)(x^2 - 1)\] Nhận thấy \(x^2 - 1\) là hiệu hai bình phương, ta tiếp tục phân tích: \[x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\] Vậy ta có: \[x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 2)(x + 1)(x - 1)\] Đáp số: A. \(6xy + 12x - 4y - 8 = (y + 2)(6x - 4)\) B. \(x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 2)(x + 1)(x - 1)\) Bài 2: a. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $(x-2)^2-(x-1)(x+1)+4(x+2)$ Ta có: \[ (x-2)^2 - (x-1)(x+1) + 4(x+2) \] Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ và $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, ta có: \[ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] \[ (x-1)(x+1) = x^2 - 1 \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 1) + 4(x + 2) \] Rút gọn biểu thức: \[ x^2 - 4x + 4 - x^2 + 1 + 4x + 8 \] Các hạng tử \(x^2\) và \(-x^2\) triệt tiêu lẫn nhau, các hạng tử \(-4x\) và \(4x\) cũng triệt tiêu lẫn nhau: \[ 4 + 1 + 8 = 13 \] Như vậy, biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\) và luôn luôn bằng 13. b. Tìm \(x\) biết: \((2-x)(2+x) = 3\) Áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[ (2-x)(2+x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2 \] Theo đề bài, ta có: \[ 4 - x^2 = 3 \] Di chuyển 3 sang vế trái: \[ 4 - 3 = x^2 \] \[ 1 = x^2 \] Giải phương trình \(x^2 = 1\): \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy các giá trị của \(x\) là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bài 3: A. Thực hiện phép trừ phân thức đại số: \[ \frac{x+2}{x-3} - \frac{x^2+6}{x^2-3x} \] Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức. Mẫu chung của \(x-3\) và \(x^2-3x\) là \(x(x-3)\). Rút gọn phân thức thứ hai: \[ \frac{x^2+6}{x^2-3x} = \frac{x^2+6}{x(x-3)} \] Bây giờ, ta viết lại phép trừ với mẫu chung: \[ \frac{x+2}{x-3} - \frac{x^2+6}{x(x-3)} = \frac{(x+2)x - (x^2+6)}{x(x-3)} \] Thực hiện phép nhân và trừ ở tử số: \[ = \frac{x^2 + 2x - x^2 - 6}{x(x-3)} = \frac{2x - 6}{x(x-3)} \] Rút gọn phân thức: \[ = \frac{2(x - 3)}{x(x-3)} = \frac{2}{x} \] Vậy: \[ \frac{x+2}{x-3} - \frac{x^2+6}{x^2-3x} = \frac{2}{x} \] B. Thực hiện phép chia phân thức đại số: \[ \frac{4x-4}{x^2-4x+4} : \frac{x^2-1}{(2-x)^2} \] Đầu tiên, ta viết phép chia dưới dạng nhân với nghịch đảo: \[ \frac{4x-4}{x^2-4x+4} \times \frac{(2-x)^2}{x^2-1} \] Rút gọn các phân thức: \[ \frac{4(x-1)}{(x-2)^2} \times \frac{(2-x)^2}{(x-1)(x+1)} \] Chú ý rằng \((2-x)^2 = (x-2)^2\): \[ = \frac{4(x-1)}{(x-2)^2} \times \frac{(x-2)^2}{(x-1)(x+1)} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ = \frac{4}{x+1} \] Vậy: \[ \frac{4x-4}{x^2-4x+4} : \frac{x^2-1}{(2-x)^2} = \frac{4}{x+1} \] Đáp số: A. $\frac{2}{x}$ B. $\frac{4}{x+1}$ Bài 4: a. Ta có: $\widehat{EAD}=\widehat{DAF}$ (AD là tia phân giác của $\widehat{BAC})$ $\widehat{DAF}=\widehat{ADF}$ (DE // AB) $\widehat{EAD}=\widehat{AED}$ (DF // AC) Suy ra: $\widehat{ADF}=\widehat{AED}$ Suy ra: AD = AE (hai cạnh đối diện của hình thang nội tiếp bằng nhau) Mà: $\widehat{DAF}=\widehat{ADF}$ (chứng minh trên) Suy ra: AF = AD (cạnh đối diện góc bằng nhau) Tương tự ta có: DF = AE Suy ra: AD = AE = DF = AF Vậy AEDF là hình thoi. b. Ta có: $\widehat{EAF}=\widehat{AFE}$ (AEDF là hình thoi) $\widehat{AFE}=\widehat{AFG}$ (Đối đỉnh) Suy ra: $\widehat{EAF}=\widehat{AFG}$ Mà hai góc này so le trong nên EF // DG Mặt khác: AF = FD (AEDF là hình thoi) Mà F là trung điểm của AG nên FA = FG Suy ra: FD = FG Suy ra: Tứ giác EFGD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) c. Ta có: $\widehat{EAF}=\widehat{AFE}$ (AEDF là hình thoi) $\widehat{AFE}=\widehat{AFG}$ (Đối đỉnh) Suy ra: $\widehat{EAF}=\widehat{AFG}$ Mà hai góc này so le trong nên EF // DG Mặt khác: AF = FD (AEDF là hình thoi) Mà F là trung điểm của AG nên FA = FG Suy ra: FD = FG Suy ra: Tứ giác EFGD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) d. Ta có: $\widehat{EAF}=\widehat{AFE}$ (AEDF là hình thoi) $\widehat{AFE}=\widehat{AFG}$ (Đối đỉnh) Suy ra: $\widehat{EAF}=\widehat{AFG}$ Mà hai góc này so le trong nên EF // DG Mặt khác: AF = FD (AEDF là hình thoi) Mà F là trung điểm của AG nên FA = FG Suy ra: FD = FG Suy ra: Tứ giác EFGD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) Để tứ giác ADGI là hình vuông thì $\widehat{DAI}=90^{\circ}$ Mà $\widehat{DAI}=\widehat{DAG}+\widehat{GAI}$ $\widehat{GAI}=90^{\circ}-\widehat{FAI}$ $\widehat{DAI}=90^{\circ}-\widehat{FAI}+\widehat{GAI}$ $=90^{\circ}-\widehat{FAI}+90^{\circ}-\widehat{FAI}$ $=180^{\circ}-2\times \widehat{FAI}$ $=180^{\circ}-2\times \widehat{DAF}$ $=180^{\circ}-2\times \widehat{BAD}$ $=180^{\circ}-2\times \frac{1}{2}\times \widehat{BAC}$ $=180^{\circ}-\widehat{BAC}$ Vậy để tứ giác ADGI là hình vuông thì $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ Bài 5: Để tính giá trị của biểu thức $(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})...(1-\frac{1}{2017^2})$, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích nhân tử và rút gọn. Ta có: \[ 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} \] Áp dụng vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})...(1 - \frac{1}{2017^2}) \] \[ = \left(\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\right) \left(\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\right) \left(\frac{(4-1)(4+1)}{4^2}\right) ... \left(\frac{(2017-1)(2017+1)}{2017^2}\right) \] \[ = \left(\frac{1 \cdot 3}{2^2}\right) \left(\frac{2 \cdot 4}{3^2}\right) \left(\frac{3 \cdot 5}{4^2}\right) ... \left(\frac{2016 \cdot 2018}{2017^2}\right) \] Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy rằng các phân số liên tiếp sẽ có các thừa số chung ở tử số và mẫu số, do đó chúng sẽ bị triệt tiêu dần dần. Cụ thể: \[ = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot ... \cdot \frac{2016 \cdot 2018}{2017 \cdot 2017} \] Khi nhân các phân số này lại với nhau, ta thấy rằng các thừa số ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại: \[ = \frac{1 \cdot 2018}{2 \cdot 2017} \] \[ = \frac{2018}{2 \cdot 2017} \] \[ = \frac{2018}{4034} \] \[ = \frac{1009}{2017} \] Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{1009}{2017}$.