Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH. Từ H kẻ HM⊥AB(M∈ AB), kẻ HN ⊥ AC(N thuộc AC) a/ AMHN là hình chữ nhật b/ gọi I là trung điểm HC, K là điểm đối xứng với A qua I. Chứng minh AC // H...

Tường Vy Nguyễn

a) Chứng minh AMHN là hình chữ nhật

• Ta có:
• AH ⊥ BC (gt)
• HM ⊥ AB (gt)
• HN ⊥ AC (gt)
• => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (hình có 3 góc vuông)

b) Chứng minh AC // HK

• I là trung điểm của HC, K đối xứng với A qua I => I là trung điểm của AK.
• Tứ giác AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường => AHCK là hình bình hành.
• Mà AH ⊥ HC (gt) => AHCK là hình chữ nhật.
• Hình chữ nhật có hai cặp cạnh đối song song nên AC // HK.

c) Chứng minh tứ giác NCKM là hình thang cân

• Ta có:
• MN // HK (cùng vuông góc với AH)
• => MNCK là hình thang.
• Mà AHCK là hình chữ nhật (cmt) => góc ACK = 90 độ.
• Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (cmt) => góc AMN = 90 độ.
• => góc ACK = góc AMN
• Vậy tứ giác MNCK là hình thang cân (hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau).

d) Chứng minh AK = 3AD

• Gọi giao điểm của MN và AH là O.
• Ta có:
• AO là đường trung bình của tam giác MHC (vì O là trung điểm của MH, AH // MC)
• => AO = 1/2 HC.
• Mặt khác, AI = 1/2 AC (vì I là trung điểm của AC).
• => OI = AI - AO = 1/2 AC - 1/2 HC = 1/2 AH.
• Vì AHCK là hình chữ nhật nên AK = 2AH.
• => AK = 4OI.
• Mà OD = OI (tính chất đường trung bình)
• => AK = 3AD.

Kết luận:

• AMHN là hình chữ nhật.
• AC // HK.
• NCKM là hình thang cân.
• AK = 3AD.