Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. Trên tia IN lấy điểm D sao cho N là trung điểm của ID. a) Tứ giác AM...

a) Ta có: $\widehat{BAC} = 90^\circ$, $\widehat{AMN} = 90^\circ$, $\widehat{AIN} = 90^\circ$. Do đó, tứ giác AMIN là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). Lại có: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45^\circ$ (vì tam giác ABC vuông cân tại A). Mà $\widehat{MBI} = \widehat{NCI} = 45^\circ$ (vì I là trung điểm của BC và tam giác ABC vuông cân tại A). Do đó, $\widehat{BIN} = \widehat{BIC} - \widehat{BIM} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Tương tự, ta có $\widehat{CIN} = 45^\circ$. Vậy $\widehat{BIN} = \widehat{CIN} = 45^\circ$. Do đó, tứ giác ADIC là hình vuông (vì có 3 góc vuông và hai cạnh kề góc vuông bằng nhau). b) Ta có: $\widehat{BNC} = \widehat{BIC} = 90^\circ$ (vì tứ giác BINM nội tiếp). Mà $\widehat{BNC} = \widehat{BKC}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\widehat{BKC} = 90^\circ$. Vậy tam giác BKC vuông tại K. Ta có: $\widehat{BKN} = \widehat{CDK}$ (hai góc so le trong). $\widehat{KBN} = \widehat{KDC}$ (hai góc đồng vị). Do đó, tam giác BKN và tam giác CDK đồng dạng (g-g). Vậy $\frac{BK}{CK} = \frac{NK}{DK}$. Mà NK = ND (vì N là trung điểm của ID). Do đó, $\frac{BK}{CK} = \frac{ND}{DK} = 2$. Vậy CK = 2DK.