giúp mình bài 13

Bài 13: a) Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao? - Ta có E và F là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC. - Do đó, EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$ BC. - G là trung điểm của BC nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Vì EF // BC và AG là đường trung tuyến, nên AG cũng là đường trung trực của EF. - Vậy tứ giác AEGF là hình thang cân vì EF // BC và AG là đường trung trực của EF. b) Chứng minh 3 đường thẳng AG, BI và EF cùng đi qua một điểm. - Ta có E là trung điểm của AB và I là giao điểm của đường thẳng song song với BF và GF. - Vì EF // BC và E là trung điểm của AB, nên đường thẳng qua E song song với BF sẽ cắt GF tại I. - Ta cần chứng minh rằng AG, BI và EF cùng đi qua một điểm. - Xét tam giác AGB, ta có AG là đường trung tuyến và EF là đường trung bình. - Vì EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$ BC, nên đường thẳng qua E song song với BF sẽ cắt GF tại I. - Do đó, AG, BI và EF cùng đi qua một điểm. c) Chứng minh tứ giác AGCI là hình thoi. - Ta có G là trung điểm của BC và AG là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Vì EF // BC và EF = $\frac{1}{2}$ BC, nên AG = GC. - Ta cũng có AG = CI vì AG là đường trung tuyến và CI là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Vậy AG = GC = CI = IA, tức là các cạnh của tứ giác AGCI đều bằng nhau. - Do đó, tứ giác AGCI là hình thoi. d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông. - Để tứ giác AGCI là hình vuông, ta cần AGCI là hình thoi và các góc của nó đều là góc vuông. - Điều kiện để AGCI là hình vuông là tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A. - Khi đó, AGCI sẽ là hình vuông vì các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đều là góc vuông. Đáp số: a) Tứ giác AEGF là hình thang cân. b) 3 đường thẳng AG, BI và EF cùng đi qua một điểm. c) Tứ giác AGCI là hình thoi. d) Điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông là tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A. Bài 14: a) Ta có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE song song với BC và $DE=\frac{1}{2}BC$. Vậy tứ giác BDEC là hình thang và $DE=\frac{1}{2}\times 7=3,5(cm)$. b) Để tứ giác BMNC là hình thang cân thì MN song song với BC và BM = CN. Do đó tam giác ABC cần thêm điều kiện là AB = AC. c) Ta có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE song song với BC và $DE=\frac{1}{2}BC$. Lại có F là trung điểm của BC nên BF = FC. Vậy DE = BF = FC. Ta có O là trung điểm của DF nên DO = OF. Xét tam giác BDF và tam giác CEF ta có: - BF = CE (vì F là trung điểm của BC) - DF = EF (vì O là trung điểm của DF) - $\angle BFD=\angle CFE$ (đối đỉnh) Vậy tam giác BDF và tam giác CEF bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Suy ra BD = CE và $\angle DBF=\angle ECF$. Vậy tam giác BDF và tam giác CEF là tam giác đều. Vậy ba điểm O, B, E thẳng hàng. d) Ta có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE song song với BC và $DE=\frac{1}{2}BC$. Lại có K là điểm trên tia đối của tia ED sao cho $ED=EK$. Vậy BK đi qua trung điểm của DC. e) Ta có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE song song với BC và $DE=\frac{1}{2}BC$. Lại có F là trung điểm của BC nên BF = FC. Vậy DE = BF = FC. Ta có AO cắt BC tại điểm M. Vậy $BC=3.BM$. Bài 15: a) Ta có $\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}$. Vì DE // AB nên $\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}$. Tương tự, ta có $\frac{BF}{BA}=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{3}$. Do đó $\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BA}$, suy ra $AE.BA=AC.BF$. b) Ta có $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$, M là trung điểm của AC nên $\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$. Từ đó $\frac{AM}{AE}=\frac{2}{3}$. Mặt khác, ta có $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$. Từ đó $\frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{AM}{AE}=\frac{AF}{AE}$ nên $EF//BM$. c) Ta có $\frac{DB}{DC}=k$, suy ra $\frac{BD}{BC}=\frac{k}{k+1}$. Vì DE // AB nên $\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{k}{k+1}$. Tương tự, ta có $\frac{BF}{BA}=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{k+1}$. Để $EF//BC$ thì $\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BA}$, tức là $\frac{k}{k+1}=\frac{1}{k+1}$. Giải phương trình này, ta được $k=1$.