giải toán bài

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và các mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình. Phương trình đã cho là: \[ 5x^2 - 3x - 1 = 0 \] Theo định lý Viète, tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình của chúng ta: \[ x_1 + x_2 = \frac{3}{5} \] \[ x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{5} \] Bây giờ, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \( A = 2x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 2x_2^3 - 3x_1x_2^2 \). Ta sẽ nhóm các hạng tử lại để dễ dàng tính toán: \[ A = 2(x_1^3 + x_2^3) - 3x_1x_2(x_1 + x_2) \] Biểu thức \( x_1^3 + x_2^3 \) có thể được viết dưới dạng: \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ x_1 + x_2 = \frac{3}{5} \] \[ x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{5} \] Tính \( x_1^2 + x_2^2 \): \[ x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 - 2 \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{9}{25} + \frac{2}{5} = \frac{9}{25} + \frac{10}{25} = \frac{19}{25} \] Bây giờ, tính \( x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 \): \[ x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = \frac{19}{25} - \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{19}{25} + \frac{1}{5} = \frac{19}{25} + \frac{5}{25} = \frac{24}{25} \] Do đó: \[ x_1^3 + x_2^3 = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{24}{25} \right) = \frac{72}{125} \] Tiếp theo, tính \( 3x_1x_2(x_1 + x_2) \): \[ 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 3 \left( -\frac{1}{5} \right) \left( \frac{3}{5} \right) = -\frac{9}{25} \] Cuối cùng, thay vào biểu thức \( A \): \[ A = 2 \left( \frac{72}{125} \right) - \left( -\frac{9}{25} \right) = \frac{144}{125} + \frac{9}{25} = \frac{144}{125} + \frac{45}{125} = \frac{189}{125} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = \frac{189}{125} \]