n^2 + 3n+ 6 chia hết cho 5

Để \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho 5, ta xét các trường hợp của \( n \) theo modulo 5. 1. Xét \( n \equiv 0 \pmod{5} \): \[ n = 5k \quad (k \text{ là số nguyên}) \] Thay vào biểu thức: \[ n^2 + 3n + 6 = (5k)^2 + 3(5k) + 6 = 25k^2 + 15k + 6 \] Ta thấy \( 25k^2 + 15k \) chia hết cho 5, nhưng 6 không chia hết cho 5. Vậy \( n^2 + 3n + 6 \) không chia hết cho 5 trong trường hợp này. 2. Xét \( n \equiv 1 \pmod{5} \): \[ n = 5k + 1 \quad (k \text{ là số nguyên}) \] Thay vào biểu thức: \[ n^2 + 3n + 6 = (5k + 1)^2 + 3(5k + 1) + 6 = 25k^2 + 10k + 1 + 15k + 3 + 6 = 25k^2 + 25k + 10 \] Ta thấy \( 25k^2 + 25k + 10 \) chia hết cho 5. Vậy \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho 5 trong trường hợp này. 3. Xét \( n \equiv 2 \pmod{5} \): \[ n = 5k + 2 \quad (k \text{ là số nguyên}) \] Thay vào biểu thức: \[ n^2 + 3n + 6 = (5k + 2)^2 + 3(5k + 2) + 6 = 25k^2 + 20k + 4 + 15k + 6 + 6 = 25k^2 + 35k + 16 \] Ta thấy \( 25k^2 + 35k \) chia hết cho 5, nhưng 16 không chia hết cho 5. Vậy \( n^2 + 3n + 6 \) không chia hết cho 5 trong trường hợp này. 4. Xét \( n \equiv 3 \pmod{5} \): \[ n = 5k + 3 \quad (k \text{ là số nguyên}) \] Thay vào biểu thức: \[ n^2 + 3n + 6 = (5k + 3)^2 + 3(5k + 3) + 6 = 25k^2 + 30k + 9 + 15k + 9 + 6 = 25k^2 + 45k + 24 \] Ta thấy \( 25k^2 + 45k \) chia hết cho 5, nhưng 24 không chia hết cho 5. Vậy \( n^2 + 3n + 6 \) không chia hết cho 5 trong trường hợp này. 5. Xét \( n \equiv 4 \pmod{5} \): \[ n = 5k + 4 \quad (k \text{ là số nguyên}) \] Thay vào biểu thức: \[ n^2 + 3n + 6 = (5k + 4)^2 + 3(5k + 4) + 6 = 25k^2 + 40k + 16 + 15k + 12 + 6 = 25k^2 + 55k + 34 \] Ta thấy \( 25k^2 + 55k \) chia hết cho 5, nhưng 34 không chia hết cho 5. Vậy \( n^2 + 3n + 6 \) không chia hết cho 5 trong trường hợp này. Từ các trường hợp trên, ta thấy chỉ có trường hợp \( n \equiv 1 \pmod{5} \) làm cho \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho 5. Kết luận: \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho 5 khi \( n \equiv 1 \pmod{5} \).