giúp tôi toán lớp 11

Câu 11. Để tính giá trị của $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{3n^2 + 2})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{3n^2 + 2} = \left( \sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{3n^2 + 2} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{3n^2 + 2}}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{3n^2 + 2}} \] Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \frac{(n^2 - 1) - (3n^2 + 2)}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{3n^2 + 2}} \] \[ = \frac{n^2 - 1 - 3n^2 - 2}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{3n^2 + 2}} \] \[ = \frac{-2n^2 - 3}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{3n^2 + 2}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$ để dễ dàng tìm giới hạn khi $n \to +\infty$: \[ = \frac{-2n^2 - 3}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{3n^2 + 2}} = \frac{-2n^2 - 3}{n \left( \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{3 + \frac{2}{n^2}} \right)} \] \[ = \frac{-2n - \frac{3}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{3 + \frac{2}{n^2}}} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi $n \to +\infty$: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{-2n - \frac{3}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{3 + \frac{2}{n^2}}} = \frac{-2n - 0}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{3 + 0}} = \frac{-2n}{1 + \sqrt{3}} \] Khi $n \to +\infty$, biểu thức trên sẽ tiến đến $-\infty$ vì tử số là $-2n$ (tăng không giới hạn theo chiều âm) và mẫu số là hằng số dương. Vậy giá trị đúng của $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{3n^2 + 2})$ là $-\infty$. Đáp án đúng là: B. $-\infty$. Câu 12. Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ cả hai phía. Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} \quad \text{khi} \quad x \neq 1 \] Phân tích tử số: \[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \] Do đó: \[ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = x + 2 \quad \text{khi} \quad x \neq 1 \] Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 1 + 2 = 3 \] Hàm số liên tục tại \( x = 1 \) khi: \[ f(1) = 3 \] Theo đề bài, \( f(1) = a \). Do đó: \[ a = 3 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( a = 3 \) Đáp số: B. \( a = 3 \)