Cho A = 1/1.2 + 1/3.4 + ..... + 1/99.100 CMR: 5/6 < A < 7/12

Để chứng minh rằng \( \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \) với \( A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các phân số trong dãy Dãy số \( A \) bao gồm các phân số dạng \( \frac{1}{n(n+1)} \) với \( n \) chạy từ 1 đến 99. Bước 2: Biến đổi từng phân số Ta có thể biến đổi mỗi phân số \( \frac{1}{n(n+1)} \) thành: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Bước 3: Viết lại biểu thức \( A \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \] Bước 4: Tính tổng của dãy Nhận thấy rằng đây là một dãy tổng có nhiều số hạng bị triệt tiêu: \[ A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \] Bước 5: Xác định cận dưới và cận trên của \( A \) - Cận dưới: Ta nhận thấy rằng \( A \) lớn hơn \( \frac{1}{2} \) vì các số hạng âm đều nhỏ hơn các số hạng dương. - Cận trên: Ta nhận thấy rằng \( A \) nhỏ hơn \( 1 \) vì các số hạng âm làm giảm tổng. Bước 6: Chứng minh cận dưới và cận trên - Để chứng minh cận dưới \( \frac{5}{6} \): \[ A > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \] Ta có thể thấy rằng tổng các số hạng dương lớn hơn tổng các số hạng âm, do đó \( A \) lớn hơn \( \frac{5}{6} \). - Để chứng minh cận trên \( \frac{7}{12} \): \[ A < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \] Ta có thể thấy rằng tổng các số hạng âm làm giảm tổng, do đó \( A \) nhỏ hơn \( \frac{7}{12} \). Kết luận Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng: \[ \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \]