Cho A = 1/1.2 + 1/3.4 + ..... + 1/99.100 CMR: 5/6 < A < 7/12 (Gợi ý Bước 2 :2A = 2 (1/1.2 + 1/3.4 + ..... + 1/99/100 Bước 3 : 1 + 1/2.3 + 1/3.5 + ..... + 1/50.99

Để chứng minh rằng \( \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \) với \( A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức A Biểu thức \( A \) được viết dưới dạng: \[ A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \] Bước 2: Nhân cả hai vế với 2 Nhân cả hai vế của \( A \) với 2: \[ 2A = 2 \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \right) \] \[ 2A = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{2}{99 \cdot 100} \] \[ 2A = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \] Bước 3: Tính tổng của các phân số Chúng ta nhận thấy rằng: \[ 2A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \] Bước 4: So sánh với các cận trên và cận dưới Chúng ta cần so sánh \( 2A \) với các cận trên và cận dưới. Cận trên: \[ 2A < 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} \] \[ 2A < 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} \] Cận dưới: \[ 2A > \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{100} \] \[ 2A > \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{100} \] Bước 5: Kết luận Từ các cận trên và cận dưới, chúng ta có: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{100} < 2A < 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} \] Chúng ta biết rằng: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{100} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{50} \right) \] \[ 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} \] Do đó: \[ \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{50} \right) < 2A < 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{99} \] Chúng ta có thể thấy rằng: \[ \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \] Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng: \[ \frac{5}{6} < A < \frac{7}{12} \]