trắc nghiệm đúng sai và trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 2: a) Ta có: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times (-1) + 1 \times 0 + 0 \times (-2) = -2 \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Do đó: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-2}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{-2}{5} \] Vậy: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{2}{5} \] b) Ta có: \[ -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = -2(2, 1, 0) + (-1, 0, -2) \] \[ = (-4, -2, 0) + (-1, 0, -2) \] \[ = (-4 - 1, -2 + 0, 0 - 2) = (-5, -2, -2) \] c) Điều kiện để $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$ là: \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (-1) \times m + 0 \times (-2) + (-2) \times 4 = -m - 8 \] Đặt: \[ -m - 8 = 0 \Rightarrow m = -8 \] d) Điều kiện để $|\overrightarrow{c}| = 2|\overrightarrow{a}|$ là: \[ |\overrightarrow{c}| = 2|\overrightarrow{a}| \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{m^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{m^2 + 4 + 16} = \sqrt{m^2 + 20} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{5} \] Do đó: \[ \sqrt{m^2 + 20} = 2\sqrt{5} \] \[ m^2 + 20 = 20 \] \[ m^2 = 0 \Rightarrow m = 0 \] Đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi về phương sai, độ lệch chuẩn và so sánh độ phân tán giữa hai lớp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mỗi lớp Lớp 11A: - Số học sinh: 2 + 10 + 6 + 4 + 3 = 25 - Trung bình cộng: \[ \bar{x}_A = \frac{(0,5 + 10,5) \times 2 + (10,5 + 20,5) \times 10 + (20,5 + 30,5) \times 6 + (30,5 + 40,5) \times 4 + (40,5 + 50,5) \times 3}{25} \] \[ = \frac{(11 \times 2) + (31 \times 10) + (51 \times 6) + (71 \times 4) + (91 \times 3)}{25} \] \[ = \frac{22 + 310 + 306 + 284 + 273}{25} = \frac{1195}{25} = 47,8 \] Lớp 11B: - Số học sinh: 3 + 8 + 10 + 2 + 4 = 27 - Trung bình cộng: \[ \bar{x}_B = \frac{(0,5 + 10,5) \times 3 + (10,5 + 20,5) \times 8 + (20,5 + 30,5) \times 10 + (30,5 + 40,5) \times 2 + (40,5 + 50,5) \times 4}{27} \] \[ = \frac{(11 \times 3) + (31 \times 8) + (51 \times 10) + (71 \times 2) + (91 \times 4)}{27} \] \[ = \frac{33 + 248 + 510 + 142 + 364}{27} = \frac{1297}{27} = 47,96 \] Bước 2: Tính phương sai của mỗi lớp Lớp 11A: Phương sai: \[ s_A^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x}_A)^2}{n} \] \[ = \frac{2(11 - 47,8)^2 + 10(31 - 47,8)^2 + 6(51 - 47,8)^2 + 4(71 - 47,8)^2 + 3(91 - 47,8)^2}{25} \] \[ = \frac{2(-36,8)^2 + 10(-16,8)^2 + 6(3,2)^2 + 4(23,2)^2 + 3(43,2)^2}{25} \] \[ = \frac{2(1354,24) + 10(282,24) + 6(10,24) + 4(538,24) + 3(1866,24)}{25} \] \[ = \frac{2708,48 + 2822,4 + 61,44 + 2152,96 + 5598,72}{25} = \frac{13344}{25} = 133,44 \] Lớp 11B: Phương sai: \[ s_B^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x}_B)^2}{n} \] \[ = \frac{3(11 - 47,96)^2 + 8(31 - 47,96)^2 + 10(51 - 47,96)^2 + 2(71 - 47,96)^2 + 4(91 - 47,96)^2}{27} \] \[ = \frac{3(-36,96)^2 + 8(-16,96)^2 + 10(3,04)^2 + 2(23,04)^2 + 4(43,04)^2}{27} \] \[ = \frac{3(1366,0416) + 8(287,6416) + 10(9,2416) + 2(530,8416) + 4(1852,4416)}{27} \] \[ = \frac{4098,1248 + 2299,5328 + 92,416 + 1061,6832 + 7409,7664}{27} = \frac{14951,5232}{27} = 133,44 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mỗi lớp Lớp 11A: \[ s_A = \sqrt{s_A^2} = \sqrt{133,44} = 11,77 \] Lớp 11B: \[ s_B = \sqrt{s_B^2} = \sqrt{133,44} = 11,55 \] Bước 4: So sánh độ phân tán - Độ lệch chuẩn của lớp 11A là 11,77 - Độ lệch chuẩn của lớp 11B là 11,55 Do đó, thời gian để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi của lớp 11A ít phân tán hơn lớp 11B vì độ lệch chuẩn của lớp 11A lớn hơn độ lệch chuẩn của lớp 11B. Đáp số: a) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11A là: 133,44 b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 11A là: 11,77 c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 11B là: 11,55 d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì thời gian để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi của lớp 11A ít phân tán hơn lớp 11B. Câu 4: a) Số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người. - Năm 1980 cách năm 1970 là 10 năm, tức là \( t = 10 \). Thay \( t = 10 \) vào công thức \( f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \): \[ f(10) = \frac{26 \cdot 10 + 10}{10 + 5} = \frac{260 + 10}{15} = \frac{270}{15} = 18 \] Vậy số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người. b) Số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là 23 nghìn người. - Năm 1995 cách năm 1970 là 25 năm, tức là \( t = 25 \). Thay \( t = 25 \) vào công thức \( f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \): \[ f(25) = \frac{26 \cdot 25 + 10}{25 + 5} = \frac{650 + 10}{30} = \frac{660}{30} = 22 \] Vậy số dân của thị trấn vào đầu năm 1995 là 22 nghìn người. e) Xem \( f \) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \( (0; +\infty) \). - Để kiểm tra tính đồng biến của hàm số \( f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \), ta tính đạo hàm của \( f(t) \): \[ f'(t) = \frac{(26)(t + 5) - (26t + 10)(1)}{(t + 5)^2} = \frac{26t + 130 - 26t - 10}{(t + 5)^2} = \frac{120}{(t + 5)^2} \] Vì \( \frac{120}{(t + 5)^2} > 0 \) với mọi \( t > 0 \), nên hàm số \( f(t) \) đồng biến trên \( (0; +\infty) \). d) Đạo hàm của hàm số \( f \) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm). - Ta đã tính đạo hàm của \( f(t) \) ở phần trước: \[ f'(t) = \frac{120}{(t + 5)^2} \] - Năm 1998 cách năm 1970 là 28 năm, tức là \( t = 28 \). Thay \( t = 28 \) vào đạo hàm \( f'(t) \): \[ f'(28) = \frac{120}{(28 + 5)^2} = \frac{120}{33^2} = \frac{120}{1089} \approx 0,11 \] Vậy vào năm 1998 thì tốc độ tăng dân số là khoảng 0,11 nghìn người/năm. Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ. Đáp án: a) 18 nghìn người b) 22 nghìn người e) Hàm số đồng biến trên \( (0; +\infty) \) d) Tốc độ tăng dân số vào năm 1998 là khoảng 0,11 nghìn người/năm. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị để tìm các thông tin về hàm số. 2. Sử dụng các điểm đặc biệt để lập phương trình và tìm giá trị của \(a\) và \(c\). 3. Tính giá trị của \(a - 2c\). Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị - Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0, 3)\). Điều này cho thấy khi \(x = 0\), \(y = 3\). Thay vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{a \cdot 0 + 3}{0 + c} = \frac{3}{c} \] Do đó, \(\frac{3}{c} = 3 \Rightarrow c = 1\). - Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((-3, 0)\). Điều này cho thấy khi \(y = 0\), \(x = -3\). Thay vào phương trình hàm số: \[ 0 = \frac{a(-3) + 3}{-3 + 1} = \frac{-3a + 3}{-2} \] Do đó, \(-3a + 3 = 0 \Rightarrow -3a = -3 \Rightarrow a = 1\). Bước 2: Tính giá trị của \(a - 2c\) - Ta đã tìm được \(a = 1\) và \(c = 1\). - Do đó, \(a - 2c = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1\). Vậy giá trị của \(a - 2c\) là \(-1\). Đáp số: \(-1\). Câu 2: Để tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm \(M\): Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Ta có: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] Ta tính \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (3, -4, 6) - (1, -2, 2) = (2, -2, 4) \] Do đó: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (2, -2, 4) = (1, -1, 2) \] 2. Tìm tọa độ điểm \(A\): Giả sử tọa độ của điểm \(A\) là \((x_A, y_A, z_A)\). 3. Tìm tọa độ điểm \(B\): Giả sử tọa độ của điểm \(B\) là \((x_B, y_B, z_B)\). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1, -2, 2) \] Do đó: \[ x_B = x_A + 1, \quad y_B = y_A - 2, \quad z_B = z_A + 2 \] 4. Tìm tọa độ điểm \(C\): Giả sử tọa độ của điểm \(C\) là \((x_C, y_C, z_C)\). Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (3, -4, 6) \] Do đó: \[ x_C = x_A + 3, \quad y_C = y_A - 4, \quad z_C = z_A + 6 \] 5. Tìm tọa độ điểm \(M\): Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\), do đó: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) \] Thay tọa độ của \(B\) và \(C\): \[ M = \left( \frac{(x_A + 1) + (x_A + 3)}{2}, \frac{(y_A - 2) + (y_A - 4)}{2}, \frac{(z_A + 2) + (z_A + 6)}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{2x_A + 4}{2}, \frac{2y_A - 6}{2}, \frac{2z_A + 8}{2} \right) \] \[ M = (x_A + 2, y_A - 3, z_A + 4) \] 6. Tìm độ dài đường trung tuyến \(AM\): Độ dài đường trung tuyến \(AM\) là: \[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \(A\) và \(M\): \[ AM = \sqrt{(x_A + 2 - x_A)^2 + (y_A - 3 - y_A)^2 + (z_A + 4 - z_A)^2} \] \[ AM = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} \] \[ AM = \sqrt{4 + 9 + 16} \] \[ AM = \sqrt{29} \] Vậy độ dài đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) là \(\sqrt{29}\). Câu 4: Để xác định vị trí của tháp viễn thông sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến ba tòa nhà là nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian và tính toán khoảng cách giữa các điểm. Giả sử tháp viễn thông đặt tại điểm \( P(x, y, z) \). Tính khoảng cách từ điểm \( P \) đến các tòa nhà: - Khoảng cách từ \( P \) đến \( A(0,0,0) \): \[ PA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] - Khoảng cách từ \( P \) đến \( B(6,0,0) \): \[ PB = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2 + z^2} \] - Khoảng cách từ \( P \) đến \( C(3,\sqrt{3},2\sqrt{6}) \): \[ PC = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 + (z - 2\sqrt{6})^2} \] Tổng khoảng cách từ \( P \) đến ba tòa nhà là: \[ f(x, y, z) = PA + PB + PC \] \[ f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x - 6)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 + (z - 2\sqrt{6})^2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x, y, z) \), ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, việc tính đạo hàm trực tiếp của hàm này khá phức tạp. Do đó, ta sẽ dựa vào tính chất hình học và nhận thấy rằng điểm \( P \) tối ưu thường nằm trên đường thẳng nối trung điểm của các đoạn thẳng giữa các điểm. Trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) là: \[ M_{AB} = \left( \frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (3, 0, 0) \] Trung điểm của đoạn thẳng \( AC \) là: \[ M_{AC} = \left( \frac{0+3}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+2\sqrt{6}}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{6} \right) \] Trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) là: \[ M_{BC} = \left( \frac{6+3}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+2\sqrt{6}}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{6} \right) \] Nhận thấy rằng điểm \( P \) tối ưu có thể nằm gần trung điểm của các đoạn thẳng này. Ta thử điểm \( P \) tại trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của \( AB \) và \( AC \): Trung điểm của đoạn thẳng nối \( M_{AB} \) và \( M_{AC} \) là: \[ P = \left( \frac{3 + \frac{3}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{0 + \sqrt{6}}{2} \right) = \left( \frac{9}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{2} \right) \] Tính khoảng cách từ \( P \) đến các tòa nhà: \[ PA = \sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{16} + \frac{3}{16} + \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{81 + 3 + 24}{16}} = \sqrt{\frac{108}{16}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] \[ PB = \sqrt{\left(\frac{9}{4} - 6\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{15}{4}\right)^2 + \frac{3}{16} + \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{225}{16} + \frac{3}{16} + \frac{24}{16}} = \sqrt{\frac{252}{16}} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \] \[ PC = \sqrt{\left(\frac{9}{4} - 3\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - 2\sqrt{6}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{27}{16} + \frac{54}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 27 + 216}{16}} = \sqrt{\frac{252}{16}} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \] Tổng khoảng cách: \[ f\left(\frac{9}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{7}}{2} + \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{7} \] Do đó, tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba tòa nhà là: \[ \boxed{\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{7}} \] Câu 5: Để tìm thời điểm mà vật đạt độ cao lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( h(t) \): \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(2 + 24,5t - 4,9t^2) = 24,5 - 9,8t \] Bước 2: Tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm bằng 0: \[ h'(t) = 0 \] \[ 24,5 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 24,5 \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} \] \[ t = 2,5 \text{ (giây)} \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định đây là giá trị cực đại: - Ta thấy \( h''(t) = \frac{d}{dt}(24,5 - 9,8t) = -9,8 \). Vì \( h''(t) < 0 \), nên \( t = 2,5 \) là điểm cực đại của hàm số \( h(t) \). Vậy sau 2,5 giây, vật đạt độ cao lớn nhất. Câu 6: Để tìm thời điểm mà tốc độ bán hàng là lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(t) \). \[ f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \right) \] Sử dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: \[ f'(t) = \frac{5000 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} \] Tính đạo hàm của mẫu số: \[ \frac{d}{dt}(1 + 5e^{-t}) = -5e^{-t} \] Do đó: \[ f'(t) = \frac{5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} = \frac{-25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Để tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \), ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm của \( f'(t) \) bằng 0 hoặc không xác định. Tính đạo hàm của \( f'(t) \): \[ f''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{-25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: \[ f''(t) = \frac{(-25000e^{-t})' \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - (-25000e^{-t}) \cdot ((1 + 5e^{-t})^2)'}{(1 + 5e^{-t})^4} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (-25000e^{-t})' = 25000e^{-t} \] \[ ((1 + 5e^{-t})^2)' = 2(1 + 5e^{-t}) \cdot (-5e^{-t}) = -10e^{-t}(1 + 5e^{-t}) \] Do đó: \[ f''(t) = \frac{25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - (-25000e^{-t}) \cdot (-10e^{-t}(1 + 5e^{-t}))}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 250000e^{-2t}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t}) \cdot (1 + 5e^{-t} - 10e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t}) \cdot (1 - 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{25000e^{-t} \cdot (1 - 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^3} \] Đặt \( f''(t) = 0 \): \[ 25000e^{-t} \cdot (1 - 5e^{-t}) = 0 \] \[ e^{-t} \neq 0 \Rightarrow 1 - 5e^{-t} = 0 \] \[ 5e^{-t} = 1 \] \[ e^{-t} = \frac{1}{5} \] \[ -t = \ln \left( \frac{1}{5} \right) \] \[ t = -\ln \left( \frac{1}{5} \right) = \ln 5 \] Vậy sau khi phát hành khoảng \( \ln 5 \) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất. Đáp số: \( t = \ln 5 \) năm.