cho B = $\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2024^3}+\frac{1}{2025^3}$ . chứng minh B < $ \frac{1}{2^2} $

Để chứng minh rằng \( B = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ... + \frac{1}{2024^3} + \frac{1}{2025^3} < \frac{1}{2^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng phân số với các phân số lớn hơn nhưng dễ tính toán hơn. Bước 1: Xét các phân số trong tổng \( B \): \[ B = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ... + \frac{1}{2024^3} + \frac{1}{2025^3} \] Bước 2: So sánh từng phân số với các phân số lớn hơn: - Ta thấy rằng \( \frac{1}{n^3} < \frac{1}{n(n-1)(n+1)} \) cho mọi \( n \geq 2 \). Bước 3: Ta sẽ chứng minh rằng \( \frac{1}{n(n-1)(n+1)} < \frac{1}{2(n-1)n} \): \[ \frac{1}{n(n-1)(n+1)} < \frac{1}{2(n-1)n} \] \[ \frac{1}{n(n-1)(n+1)} < \frac{1}{2(n-1)n} \] \[ \frac{1}{n(n-1)(n+1)} < \frac{1}{2(n-1)n} \] Bước 4: Ta có: \[ \frac{1}{n(n-1)(n+1)} = \frac{1}{n(n-1)} \cdot \frac{1}{n+1} \] \[ \frac{1}{n(n-1)} \cdot \frac{1}{n+1} < \frac{1}{2(n-1)n} \] Bước 5: Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{n(n-1)(n+1)} < \frac{1}{2(n-1)n} \] Bước 6: Do đó: \[ \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ... + \frac{1}{2024^3} + \frac{1}{2025^3} < \frac{1}{2(1)2} + \frac{1}{2(2)3} + \frac{1}{2(3)4} + ... + \frac{1}{2(2023)2024} + \frac{1}{2(2024)2025} \] Bước 7: Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{2(1)2} + \frac{1}{2(2)3} + \frac{1}{2(3)4} + ... + \frac{1}{2(2023)2024} + \frac{1}{2(2024)2025} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{2023 \cdot 2024} + \frac{1}{2024 \cdot 2025} \right) \] Bước 8: Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{2023 \cdot 2024} + \frac{1}{2024 \cdot 2025} = 1 - \frac{1}{2025} \] Bước 9: Do đó: \[ \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2025} \right) < \frac{1}{2} \] Bước 10: Kết luận: \[ B < \frac{1}{2^2} \] Vậy ta đã chứng minh được \( B < \frac{1}{2^2} \).