Cho tam giác ABC nhọn có BC = 2r góc B bằng 60 độ các đường cao be CF cắt nhau tại H Gọi O là trung điểm bc cmr b,c,e,f thuộc 1 đg tròn EF<BC b) cm ae.ac=af.ab và tính độ dài cung nhỏ bf theo R

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn - Ta biết rằng trong tam giác ABC, BE và CF là các đường cao, tức là BE vuông góc với AC và CF vuông góc với AB. - Điểm H là trực tâm của tam giác ABC, nghĩa là H là giao điểm của các đường cao BE và CF. - Ta cần chứng minh rằng B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn. Ta xét tam giác BCE và tam giác BCF: - Góc BEC = 90° (vì BE là đường cao) - Góc BFC = 90° (vì CF là đường cao) Do đó, các điểm B, C, E, F nằm trên cùng một đường tròn có đường kính là BC. Bước 2: Chứng minh rằng EF < BC - Vì B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn có đường kính là BC, nên EF là dây cung của đường tròn này. - Dây cung EF luôn nhỏ hơn đường kính BC của đường tròn, do đó EF < BC. Bước 3: Chứng minh rằng AE × AC = AF × AB - Ta xét tam giác ABE và tam giác ACF: - Góc AEB = 90° (vì BE là đường cao) - Góc AFC = 90° (vì CF là đường cao) - Góc BAE chung giữa hai tam giác. Do đó, tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc BAE chung và hai góc vuông). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \] Nhân cả hai vế với AB và AC ta được: \[ AE × AC = AF × AB \] Bước 4: Tính độ dài cung nhỏ BF theo R - Ta biết rằng B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn có đường kính BC = 2r. - Độ dài cung BF phụ thuộc vào góc tâm tương ứng với cung BF. Ta xét góc BCF: - Góc BCF = 90° (vì CF là đường cao) - Góc BFC = 90° (vì BE là đường cao) Do đó, góc BCF = 90°, tức là cung BF chiếm 1/4 đường tròn. Độ dài cung BF là: \[ \text{Độ dài cung BF} = \frac{1}{4} × 2πR = \frac{πR}{2} \] Đáp số: - Các điểm B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn. - EF < BC. - AE × AC = AF × AB. - Độ dài cung nhỏ BF là $\frac{πR}{2}$.