Giúp em bới

Câu 2: Để giải phương trình $2 + 7 + 12 + ... + x = 245$, ta cần nhận biết rằng dãy số $2, 7, 12, ..., x$ là một dãy số cách đều với khoảng cách là 5. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và khoảng cách của dãy số. - Số hạng đầu tiên là $a_1 = 2$. - Khoảng cách giữa các số hạng là $d = 5$. Bước 2: Tìm công thức tổng của dãy số. - Số hạng thứ n của dãy số là $a_n = 2 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 3$. - Tổng của dãy số từ $a_1$ đến $a_n$ là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) = \frac{n}{2} \left( 2 + (5n - 3) \right) = \frac{n}{2} \left( 5n - 1 \right). \] Bước 3: Đặt tổng này bằng 245 và giải phương trình. \[ \frac{n}{2} \left( 5n - 1 \right) = 245. \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n \left( 5n - 1 \right) = 490. \] Phát triển và chuyển tất cả về một vế: \[ 5n^2 - n - 490 = 0. \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai. \[ 5n^2 - n - 490 = 0. \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Ở đây, $a = 5$, $b = -1$, $c = -490$. Thay vào công thức: \[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-490)}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 9800}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{9801}}{10} = \frac{1 \pm 99}{10}. \] Ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{1 + 99}{10} = 10 \quad \text{và} \quad n = \frac{1 - 99}{10} = -9.8. \] Vì $n$ phải là số tự nhiên dương, nên ta chọn $n = 10$. Bước 5: Tìm giá trị của $x$. Số hạng thứ 10 của dãy số là: \[ x = 5 \cdot 10 - 3 = 47. \] Vậy giá trị của $x$ là $\boxed{47}$. Câu 3: Đầu tiên, ta cần xác định diện tích đáy của hình chóp SABCD. Vì đáy ABCD là hình thang cân, ta sẽ tính diện tích của nó. Bước 1: Xác định chiều cao của hình thang ABCD. - Ta vẽ đường cao từ C và D hạ xuống AB, giao AB tại E và F lần lượt. - Vì ABCD là hình thang cân nên EF = CD = 7. - Do đó, AE = FB = $\frac{AB - CD}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2$. - Ta có tam giác AEC vuông tại E, AC là cạnh huyền và AC = BC = $\sqrt{5}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AEC: \[ AC^2 = AE^2 + EC^2 \] \[ (\sqrt{5})^2 = 2^2 + EC^2 \] \[ 5 = 4 + EC^2 \] \[ EC^2 = 1 \] \[ EC = 1 \] Chiều cao của hình thang ABCD là 1. Bước 2: Tính diện tích đáy ABCD. \[ S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \times EC}{2} = \frac{(11 + 7) \times 1}{2} = \frac{18 \times 1}{2} = 9 \] Bước 3: Xác định tỉ số giữa diện tích thiết diện và diện tích đáy. - Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với đáy (ABCD) và cắt SO tại I sao cho 2SO = 5SI. - Điều này có nghĩa là SI = $\frac{2}{5}$SO. - Tỉ số giữa diện tích thiết diện và diện tích đáy là bình phương của tỉ số giữa khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng $(\alpha)$ và khoảng cách từ đỉnh đến đáy: \[ \left(\frac{SI}{SO}\right)^2 = \left(\frac{\frac{2}{5}SO}{SO}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \] Bước 4: Tính diện tích thiết diện. \[ S_{thiết diện} = S_{ABCD} \times \frac{4}{25} = 9 \times \frac{4}{25} = \frac{36}{25} \] Vậy diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và hình chóp SABCD là $\frac{36}{25}$. Câu 4: Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(SA\). Vì \(MA = 2MS\), nên ta có thể chia đoạn thẳng \(SA\) thành 3 phần bằng nhau, trong đó \(MS\) là 1 phần và \(MA\) là 2 phần. Tiếp theo, ta xác định vị trí của điểm \(N\) sau khi thực hiện phép chiếu song song theo phương \(MO\) lên mặt phẳng \((ABCD)\). Vì \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\), nên \(O\) là trung điểm của cả hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Phép chiếu song song theo phương \(MO\) sẽ giữ nguyên khoảng cách từ \(S\) đến \(O\) và từ \(M\) đến \(O\). Do đó, điểm \(N\) sẽ nằm trên đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(MO\). Bây giờ, ta cần tìm tỉ số \(\frac{CN}{CA}\). Ta biết rằng \(O\) là trung điểm của \(AC\), tức là \(AO = OC\). Vì \(MO\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(MO\), nên \(N\) sẽ nằm trên đường thẳng này và cách \(O\) một khoảng bằng khoảng cách từ \(S\) đến \(O\). Do đó, ta có: \[ \frac{CN}{CA} = \frac{ON}{OA} \] Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\), nên \(OA = OC\). Mặt khác, vì \(MO\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(MO\), nên \(ON = OS\). Ta đã biết rằng \(MA = 2MS\), do đó \(MS = \frac{1}{3}SA\). Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\), nên \(OS = \frac{1}{2}SA\). Do đó, ta có: \[ ON = OS = \frac{1}{2}SA \] Vậy: \[ \frac{ON}{OA} = \frac{\frac{1}{2}SA}{\frac{1}{2}SA} = \frac{1}{2} \] Từ đó, ta suy ra: \[ \frac{CN}{CA} = \frac{1}{3} \] Đáp số: \(\frac{CN}{CA} = \frac{1}{3}\) Câu 5: Để tính \(\lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) + \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t)\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(H(t)\) khi \(t\) tiến đến 0 từ bên phải (\(t \rightarrow 0^+\)). Theo định nghĩa của hàm Heaviside: \[ H(t) = \begin{cases} 0 & \text{khi } t < 0 \\ 1 & \text{khi } t \geq 0 \end{cases} \] Khi \(t\) tiến đến 0 từ bên phải (\(t \rightarrow 0^+\)), ta có \(t \geq 0\). Do đó: \[ \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) = 1 \] 2. Tính tổng của hai giới hạn. Ta đã biết: \[ \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) = 1 \] Do đó: \[ \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) + \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) = 1 + 1 = 2 \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) + \lim_{t \rightarrow 0^+} H(t) = 2 \] Câu 6: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 2 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ cả hai phía. 1. Tính giới hạn khi \( x \to 2 \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{2x^2 - x - 6} \] Ta thấy rằng khi \( x = 2 \), mẫu số \( 2x^2 - x - 6 \) bằng 0. Do đó, ta cần kiểm tra xem tử số có cũng bằng 0 tại \( x = 2 \) hay không: \[ x^3 - 5x + 2 \bigg|_{x=2} = 2^3 - 5 \cdot 2 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0 \] Vì cả tử số và mẫu số đều bằng 0 khi \( x = 2 \), ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức để tìm giới hạn. Phân tích mẫu số: \[ 2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2) \] Phân tích tử số: \[ x^3 - 5x + 2 = (x - 2)(x^2 + 2x - 1) \] Do đó: \[ \frac{x^3 - 5x + 2}{2x^2 - x - 6} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x - 1)}{(2x + 3)(x - 2)} \] Khi \( x \neq 2 \), ta có thể giản ước \( (x - 2) \): \[ \frac{x^3 - 5x + 2}{2x^2 - x - 6} = \frac{x^2 + 2x - 1}{2x + 3} \] Bây giờ, ta tính giới hạn khi \( x \to 2 \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x - 1}{2x + 3} = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 1}{2 \cdot 2 + 3} = \frac{4 + 4 - 1}{4 + 3} = \frac{7}{7} = 1 \] 2. Hàm số \( f(x) \) tại \( x = 2 \) được định nghĩa là: \[ f(2) = \frac{4m - 1}{3} \] Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \] \[ 1 = \frac{4m - 1}{3} \] Giải phương trình này để tìm \( m \): \[ 1 = \frac{4m - 1}{3} \] \[ 3 = 4m - 1 \] \[ 4 = 4m \] \[ m = 1 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) để hàm số liên tục tại \( x_0 = 2 \) là: \[ \boxed{m = 1} \]