Câu $\rm 17$.

Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của cấp số nhân. Gọi \( u_1 \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội của cấp số nhân. Các số hạng của cấp số nhân có dạng: \[ u_2 = u_1 q \] \[ u_3 = u_1 q^2 \] \[ u_4 = u_1 q^3 \] \[ u_5 = u_1 q^4 \] Theo đề bài, ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_4 - u_2 = 54 \\ u_5 - u_3 = 108 \end{array} \right. \] Thay các biểu thức của \( u_2, u_3, u_4, u_5 \) vào hệ phương trình trên: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 q^3 - u_1 q = 54 \\ u_1 q^4 - u_1 q^2 = 108 \end{array} \right. \] Rút gọn các phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 q (q^2 - 1) = 54 \\ u_1 q^2 (q^2 - 1) = 108 \end{array} \right. \] Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \[ \frac{u_1 q^2 (q^2 - 1)}{u_1 q (q^2 - 1)} = \frac{108}{54} \] \[ q = 2 \] Bây giờ thay \( q = 2 \) vào phương trình thứ nhất để tìm \( u_1 \): \[ u_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 54 \] \[ u_1 \cdot 2 \cdot 3 = 54 \] \[ 6u_1 = 54 \] \[ u_1 = 9 \] Vậy số hạng đầu \( u_1 \) và công bội \( q \) của cấp số nhân đã cho là: \[ u_1 = 9 \] \[ q = 2 \]