đề bài câu 1 là cho tứ diện ABCD có AB=CD=AD=a và góc BAC=góc BAC=60 độ, góc CAD=90 độ. Gọi I là điểm trên cạnh AB sao cho AI=3AB và J là trung điểm của CD. Gọi góc alpha là góc giữa 2 vectơ AB và IJ

Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. A. Tam giác BCD vuông cân - Ta có \( CD = AD = a \) và góc \( CAD = 90^\circ \). - Do đó, tam giác \( ACD \) là tam giác vuông cân tại \( C \). - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy tam giác \( BCD \) vuông cân. Vì vậy, khẳng định A là sai. B. \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) - Gọi \( I \) là điểm trên \( AB \) sao cho \( AI = \frac{3}{4}AB \), do đó \( \overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \). - Gọi \( J \) là trung điểm của \( CD \), do đó \( \overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{JD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \). - Vậy \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right) - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \). - Khẳng định B là đúng. C. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{a^2}{2}\) - Ta có \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2} \). - \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\) vì góc \( CAD = 90^\circ \). - \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = a^2 \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2} \). - Tổng lại: \(\frac{a^2}{2} + 0 + \frac{a^2}{2} = a^2\). - Khẳng định C là sai. D. \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}\) - Ta cần tính \(\cos\alpha\) giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{IJ}\). - Sử dụng kết quả từ B: \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\). - Tính \(\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{IJ}}{\|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{IJ}\|}\). - Sau khi tính toán, ta có \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}\). - Khẳng định D là đúng. Vậy các khẳng định đúng là B và D. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng lựa chọn một cách chi tiết. A. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}x^2\). - Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều, nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) tạo với nhau một góc \(60^\circ\). - Ta có: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(60^\circ)\). - Do \(AB = AC = x\), nên \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x^2\). Vậy A là đúng. B. \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}\). - \(\overrightarrow{AC_1}\) là tổng của \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AA_1}\) vì \(C_1\) là điểm trên đường thẳng đứng từ \(C\) đến mặt phẳng đáy. - Do đó, \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}\). Vậy B là đúng. C. \(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1}\). - \(\overrightarrow{CB_1}\) có thể được viết lại như sau: \[ \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA_1} \] - Điều này là do \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}\) và \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AA_1}\). Vậy C là đúng. D. Góc \((AC_1, CB_1) > 60^\circ\) khi \(\frac{y}{x} < \sqrt{2}\). - Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AC_1}\) và \(\overrightarrow{CB_1}\), ta cần tính tích vô hướng của chúng và sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{CB_1}}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\overrightarrow{CB_1}|} \] - Nếu \(\theta > 60^\circ\), thì \(\cos \theta < \frac{1}{2}\). - Tính toán chi tiết cho thấy điều kiện \(\frac{y}{x} < \sqrt{2}\) là cần thiết để đảm bảo \(\cos \theta < \frac{1}{2}\). Vậy D là đúng. Tóm lại, tất cả các lựa chọn A, B, C, D đều đúng.