Phần $\rm b)$.

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tập hợp các điểm \( M \) nằm trong tam giác đều \( ABC \) sao cho \( MA^2 = MB^2 + MC^2 \). Bước 1: Xác định điều kiện của tam giác đều Tam giác \( ABC \) là tam giác đều, do đó các cạnh \( AB = BC = CA \) và các góc \( \angle BAC = \angle ABC = \angle ACB = 60^\circ \). Bước 2: Sử dụng định lý cosin Áp dụng định lý cosin trong tam giác \( MBC \), ta có: \[ MB^2 = MC^2 + BC^2 - 2 \cdot MC \cdot BC \cdot \cos(\angle MBC) \] Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, ta sẽ sử dụng một tính chất đặc biệt của tam giác đều. Bước 3: Tính chất của tam giác đều Trong tam giác đều, nếu một điểm \( M \) nằm trong tam giác và thỏa mãn \( MA^2 = MB^2 + MC^2 \), thì điểm \( M \) phải nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( BC \). Bước 4: Chứng minh Giả sử \( M \) nằm trên đường trung tuyến \( AD \) của tam giác đều \( ABC \), với \( D \) là trung điểm của \( BC \). Khi đó, \( AD \) cũng là đường cao và phân giác của tam giác đều. Do đó, ta có: - \( MB = MC \) vì \( M \) nằm trên đường trung tuyến. - \( MA^2 = MB^2 + MC^2 \) trở thành \( MA^2 = 2MB^2 \). Điều này thỏa mãn điều kiện của bài toán. Bước 5: Kết luận Tập hợp các điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện \( MA^2 = MB^2 + MC^2 \) là đường trung tuyến từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( BC \) của tam giác đều \( ABC \).