Câu $\rm 1.$

Để giải phương trình \(3\cos2x + 2\sin\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) - 5 = 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác. - Ta biết rằng \(\sin\left(\frac{9\pi}{2} - x\right)\) có thể đơn giản hóa bằng công thức \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\). Vì \(\frac{9\pi}{2}\) là một góc đồng dạng với \(\frac{\pi}{2}\) (vì \(\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}\)), nên: \[ \sin\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = \cos x \] Bước 2: Thay thế vào phương trình ban đầu. - Phương trình trở thành: \[ 3\cos2x + 2\cos x - 5 = 0 \] Bước 3: Sử dụng công thức \(\cos2x = 2\cos^2 x - 1\). - Thay \(\cos2x\) bằng \(2\cos^2 x - 1\): \[ 3(2\cos^2 x - 1) + 2\cos x - 5 = 0 \] \[ 6\cos^2 x - 3 + 2\cos x - 5 = 0 \] \[ 6\cos^2 x + 2\cos x - 8 = 0 \] Bước 4: Đặt \(y = \cos x\). - Phương trình trở thành: \[ 6y^2 + 2y - 8 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai. - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ay^2 + by + c = 0\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \(a = 6\), \(b = 2\), và \(c = -8\): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-8)}}{2 \cdot 6} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{12} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{12} \] \[ y = \frac{-2 \pm 14}{12} \] Bước 6: Tìm các giá trị của \(y\). - Ta có hai nghiệm: \[ y = \frac{-2 + 14}{12} = \frac{12}{12} = 1 \] \[ y = \frac{-2 - 14}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \] Bước 7: Kiểm tra các giá trị của \(y\). - Vì \(\cos x\) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \(y = -\frac{4}{3}\) không thỏa mãn. Do đó, chỉ có \(y = 1\) là nghiệm hợp lệ. Bước 8: Tìm \(x\) từ \(y = \cos x = 1\). - Ta có: \[ \cos x = 1 \implies x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]