Câu $\rm 5.$

Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm M thuộc đoạn OD và song song với các đường thẳng SD và AC. Sau đó, tìm giá trị của \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất. Bước 1: Xác định vị trí điểm M - Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Do \(ABCD\) là hình thang cân với \(AD \parallel BC\), nên \(O\) là trung điểm của cả hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). - Đặt \(O\) là gốc tọa độ, ta có: - \(A(-\frac{a}{2}, 0, 0)\), \(B(\frac{a}{2}, 0, 0)\) - \(C(\frac{a}{2}, a, 0)\), \(D(-\frac{a}{2}, a, 0)\) - \(O(0, \frac{a}{2}, 0)\) Bước 2: Xác định mặt phẳng \((\alpha)\) - Điểm \(M\) thuộc đoạn \(OD\), nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M(0, \frac{a}{2} + x, 0)\) với \(0 < x < \frac{a}{2}\). - Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M\) và song song với \(SD\) và \(AC\). Do đó, mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình dạng \(z = 0\). Bước 3: Xác định thiết diện - Mặt phẳng \((\alpha)\) cắt các cạnh của hình chóp tại các điểm: - \(P\) trên \(SA\), \(Q\) trên \(SB\), \(R\) trên \(SC\), \(T\) trên \(SD\). - Do \((\alpha)\) song song với \(SD\) và \(AC\), thiết diện là một hình thang với các cạnh song song với \(AD\) và \(BC\). Bước 4: Tính diện tích thiết diện - Thiết diện là hình thang với đáy nhỏ là đoạn \(PQ\) và đáy lớn là đoạn \(RT\). - Độ dài các đoạn này phụ thuộc vào vị trí của \(M\) trên \(OD\). Bước 5: Tìm giá trị \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất - Diện tích hình thang đạt giá trị lớn nhất khi chiều cao của hình thang lớn nhất. - Chiều cao của hình thang là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(PQ\) và \(RT\). - Tối ưu hóa chiều cao này bằng cách điều chỉnh \(x\). Kết luận - Tìm giá trị \(x\) để diện tích thiết diện lớn nhất bằng cách tính toán cụ thể các đoạn \(PQ\) và \(RT\) và tối ưu hóa chiều cao của hình thang. - Do bài toán yêu cầu tính toán cụ thể, cần thực hiện các bước tính toán chi tiết để tìm ra giá trị \(x\) tối ưu.