Câu $\rm 9$. Câu 9 (2,0 điểm). Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước 4m x 4m , bằng cách,vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai,tam giác đối diện:(như hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần. Tính số tiền nước,sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên?. Biết tiền nước sơn để sơn $1m^2$ là,50.000đ.

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính diện tích của các tam giác được tô màu sau mỗi lần lặp lại quá trình vẽ và tô màu, sau đó tính tổng diện tích được tô màu và cuối cùng là tính số tiền nước sơn cần thiết.

Bước 1: Tính diện tích của hình vuông ban đầu
Hình vuông ban đầu có kích thước $4m \times 4m$, do đó diện tích của nó là:
$$
S_0 = 4 \times 4 = 16 \, m^2
$$

Bước 2: Tính diện tích của hình vuông mới sau mỗi lần lặp
Mỗi lần lặp, hình vuông mới được tạo ra bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của hình vuông trước đó. Diện tích của hình vuông mới sẽ bằng một nửa diện tích của hình vuông trước đó.

- Lần 1: Diện tích hình vuông mới là:
  $$
  S_1 = \frac{1}{2} \times S_0 = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \, m^2
  $$

- Lần 2: Diện tích hình vuông mới là:
  $$
  S_2 = \frac{1}{2} \times S_1 = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, m^2
  $$

- Lần 3: Diện tích hình vuông mới là:
  $$
  S_3 = \frac{1}{2} \times S_2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \, m^2
  $$

- Lần 4: Diện tích hình vuông mới là:
  $$
  S_4 = \frac{1}{2} \times S_3 = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, m^2
  $$

- Lần 5: Diện tích hình vuông mới là:
  $$
  S_5 = \frac{1}{2} \times S_4 = \frac{1}{2} \times 1 = 0.5 \, m^2
  $$

Bước 3: Tính diện tích các tam giác được tô màu
Mỗi lần lặp, hai tam giác đối diện được tô màu, và diện tích của mỗi tam giác là một nửa diện tích của hình vuông mới.

- Lần 1: Diện tích các tam giác được tô màu là:
  $$
  T_1 = \frac{1}{2} \times S_1 = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, m^2
  $$

- Lần 2: Diện tích các tam giác được tô màu là:
  $$
  T_2 = \frac{1}{2} \times S_2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \, m^2
  $$

- Lần 3: Diện tích các tam giác được tô màu là:
  $$
  T_3 = \frac{1}{2} \times S_3 = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, m^2
  $$

- Lần 4: Diện tích các tam giác được tô màu là:
  $$
  T_4 = \frac{1}{2} \times S_4 = \frac{1}{2} \times 1 = 0.5 \, m^2
  $$

- Lần 5: Diện tích các tam giác được tô màu là:
  $$
  T_5 = \frac{1}{2} \times S_5 = \frac{1}{2} \times 0.5 = 0.25 \, m^2
  $$

Bước 4: Tính tổng diện tích được tô màu
Tổng diện tích được tô màu là tổng diện tích các tam giác qua 5 lần lặp:
$$
T = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 = 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = 7.75 \, m^2
$$

Bước 5: Tính số tiền nước sơn
Số tiền nước sơn để sơn $1m^2$ là 50.000đ, do đó số tiền cần để sơn 7.75 $m^2$ là:
$$
\text{Số tiền} = 7.75 \times 50,000 = 387,500 \, \text{đồng}
$$

Vậy, số tiền nước sơn để hoàn thành trang trí là 387,500 đồng.