Câu $\rm 6.$

Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD. Ta đã biết tọa độ của đỉnh $A(-3;1)$ và đỉnh $C$ nằm trên đường thẳng $\Delta: x - 2y - 5 = 0$. Ta cũng biết điểm $N(6;-2)$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên đường thẳng $BE$ và $CE = CD$. Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh $C$ Vì $C$ nằm trên đường thẳng $\Delta: x - 2y - 5 = 0$, nên tọa độ của $C$ có dạng $(x_C, y_C)$ thỏa mãn phương trình: \[ x_C - 2y_C - 5 = 0 \] Do $ABCD$ là hình chữ nhật, $AC$ là đường chéo, nên $AC$ vuông góc với $BD$. Ta có: \[ \text{Vectơ } \overrightarrow{AC} = (x_C + 3, y_C - 1) \] Bước 2: Xác định tọa độ đỉnh $D$ Giả sử tọa độ của $D$ là $(x_D, y_D)$. Vì $N(6;-2)$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $BE$, nên $D$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $BE$ tại $N$. Đường thẳng $BE$ có phương trình cần tìm. Bước 3: Xác định tọa độ đỉnh $B$ Vì $B$ là đỉnh của hình chữ nhật, nên $B$ có tọa độ $(x_B, y_B)$ sao cho $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$ và $AB = CD$. Ta cần tìm phương trình đường thẳng $BE$ và sử dụng điều kiện vuông góc để xác định tọa độ $B$. Bước 4: Sử dụng điều kiện $CE = CD$ Vì $CE = CD$, điểm $E$ nằm trên tia đối của tia $CD$, nên ta có thể viết: \[ \overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{CD} \] Điều này giúp ta xác định vị trí của $E$ và từ đó tìm ra tọa độ của $D$. Bước 5: Giải hệ phương trình Sử dụng các điều kiện trên, ta lập hệ phương trình để tìm tọa độ của $B$, $C$, và $D$. Sau khi giải hệ phương trình, ta sẽ có tọa độ của các đỉnh còn lại của hình chữ nhật. Kết luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ xác định được tọa độ của các đỉnh $B$, $C$, và $D$. Do bài toán yêu cầu lập luận từng bước, các bước trên chỉ ra cách tiếp cận để giải quyết bài toán. Việc giải cụ thể hệ phương trình sẽ cho ra kết quả cuối cùng.