Câu $\rm 2.$

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \( n \) từ phương trình \( C_n^2 + A_n^3 = 765 \). 2. Tìm số hạng không chứa \( x \) trong khai triển \( \left( x^3 + \frac{2}{x^2} \right)^n \). Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Trước tiên, chúng ta cần tính các tổ hợp và chỉnh hợp: \[ C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} \] \[ A_n^3 = n(n-1)(n-2) \] Thay vào phương trình đã cho: \[ \frac{n(n-1)}{2} + n(n-1)(n-2) = 765 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n-1) + 2n(n-1)(n-2) = 1530 \] Rút gọn: \[ n(n-1) + 2n(n-1)(n-2) = 1530 \] \[ n(n-1)[1 + 2(n-2)] = 1530 \] \[ n(n-1)(1 + 2n - 4) = 1530 \] \[ n(n-1)(2n - 3) = 1530 \] Bây giờ, chúng ta thử các giá trị nguyên dương của \( n \) để tìm ra giá trị đúng: - Thử \( n = 10 \): \[ 10 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 10 - 3) = 10 \cdot 9 \cdot 17 = 1530 \] Vậy \( n = 10 \). Bước 2: Tìm số hạng không chứa \( x \) trong khai triển \( \left( x^3 + \frac{2}{x^2} \right)^n \) Số hạng tổng quát trong khai triển \( \left( x^3 + \frac{2}{x^2} \right)^{10} \) là: \[ T_k = C_{10}^k (x^3)^{10-k} \left( \frac{2}{x^2} \right)^k \] \[ T_k = C_{10}^k x^{3(10-k)} \cdot \frac{2^k}{x^{2k}} \] \[ T_k = C_{10}^k \cdot 2^k \cdot x^{30-3k-2k} \] \[ T_k = C_{10}^k \cdot 2^k \cdot x^{30-5k} \] Để số hạng không chứa \( x \), ta cần: \[ 30 - 5k = 0 \] \[ 5k = 30 \] \[ k = 6 \] Vậy số hạng không chứa \( x \) là: \[ T_6 = C_{10}^6 \cdot 2^6 \] \[ C_{10}^6 = \frac{10!}{6!4!} = 210 \] \[ 2^6 = 64 \] Do đó: \[ T_6 = 210 \cdot 64 = 13440 \] Đáp án cuối cùng: Số hạng không chứa \( x \) trong khai triển \( \left( x^3 + \frac{2}{x^2} \right)^{10} \) là \( 13440 \).