Phần $\rm a)$.

Để tìm phương trình của đường tròn \((C)\), ta cần sử dụng thông tin về phép vị tự biến đường tròn \((C)\) thành đường tròn \((C')\). Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn \((C')\) Phương trình của đường tròn \((C')\) là: \[ x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0 \] Ta đưa phương trình này về dạng chuẩn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\). - Hoàn thành bình phương cho \(x\): \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] - Hoàn thành bình phương cho \(y\): \[ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 11 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16 \] Vậy, đường tròn \((C')\) có tâm \(I'(2, -1)\) và bán kính \(R' = 4\). Bước 2: Sử dụng phép vị tự để tìm tâm và bán kính của đường tròn \((C)\) Phép vị tự tâm \(A(0, 1)\) tỉ số \(k = 2\) biến đường tròn \((C)\) thành \((C')\). Do đó, ta có: - Tâm \(I\) của đường tròn \((C)\) thỏa mãn: \[ \overrightarrow{AI'} = 2 \cdot \overrightarrow{AI} \] Từ đó, ta có: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AI'} \] Với \(\overrightarrow{AI'} = (2 - 0, -1 - 1) = (2, -2)\), ta có: \[ \overrightarrow{AI} = \left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1, -1) \] Vậy, \(I = (0 + 1, 1 - 1) = (1, 0)\). - Bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) thỏa mãn: \[ R' = |k| \cdot R \Rightarrow 4 = 2 \cdot R \Rightarrow R = 2 \] Bước 3: Viết phương trình đường tròn \((C)\) Với tâm \(I(1, 0)\) và bán kính \(R = 2\), phương trình đường tròn \((C)\) là: \[ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 2^2 \] Hay: \[ (x - 1)^2 + y^2 = 4 \] Vậy, phương trình của đường tròn \((C)\) là \((x - 1)^2 + y^2 = 4\).