Bài $\rm 6.$

Bài 6: Do tính đối xứng của biểu thức P nên ta giả sử rằng \(0 \leq x < y < z \leq 2\). Đặt \(a = y - x > 0\), \(b = z - y > 0\), suy ra \(0 < a + b \leq 2\). Ta có: \[ P = \frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}. \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right)(a^2 + b^2) \geq (1+1)^2 = 4. \] Suy ra: \[ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq \frac{4}{a^2 + b^2}. \] Do đó: \[ P \geq \frac{4}{a^2 + b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}. \] Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này trong khoảng \(0 < a + b \leq 2\). Xét trường hợp \(a = b\): \[ a + b = 2a \leq 2 \Rightarrow a \leq 1. \] Khi đó: \[ P = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{(2a)^2} = \frac{2}{a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{9}{4a^2}. \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta xét đạo hàm của \(P\) theo \(a\): \[ P' = -\frac{9}{2a^3}. \] Do \(P'\) luôn âm trong khoảng \(0 < a \leq 1\), nên \(P\) giảm trên khoảng này. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(P\) xảy ra tại \(a = 1\). Khi \(a = 1\), ta có: \[ P = \frac{9}{4 \cdot 1^2} = \frac{9}{4}. \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(\boxed{\frac{9}{4}}\).