Tìm giá trị tham số a.

Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái và bên phải đều bằng giá trị của \( f(1) \). Trước tiên, ta tính giá trị của \( f(1) \): \[ f(1) = \frac{a(1^2 - 2)}{1 - 3} = \frac{a(-1)}{-2} = \frac{a}{2}. \] Tiếp theo, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{a(x^2 - 2)}{x - 3} = \frac{a(1^2 - 2)}{1 - 3} = \frac{a(-1)}{-2} = \frac{a}{2}. \] Bây giờ, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên phải: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x^2 - 1}. \] Ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x^2 - 1} \cdot \frac{\sqrt{3x + 1} + 2}{\sqrt{3x + 1} + 2} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(3x + 1) - 4}{(x^2 - 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)}. \] Rút gọn tử số: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{3x - 3}{(x^2 - 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)}. \] Hủy bỏ \( (x - 1) \) ở tử số và mẫu số: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{3}{(x + 1)(\sqrt{3x + 1} + 2)}. \] Thay \( x = 1 \) vào: \[ \frac{3}{(1 + 1)(\sqrt{3 \cdot 1 + 1} + 2)} = \frac{3}{2(\sqrt{4} + 2)} = \frac{3}{2(2 + 2)} = \frac{3}{8}. \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ \frac{a}{2} = \frac{3}{8}. \] Giải phương trình này để tìm \( a \): \[ a = \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}. \] Vậy giá trị của tham số \( a \) là \( \frac{3}{4} \).