Phần $\rm a)$.

Ta sẽ chứng minh rằng $(C^0_n)^2+(C^1_n)^2+...+(C^n_n)^2=C^n_{2n}$ bằng cách sử dụng công thức tổ hợp. Trước tiên, ta nhớ lại công thức tổ hợp: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Bây giờ, ta xét tổng: \[ S = (C^0_n)^2 + (C^1_n)^2 + \ldots + (C^n_n)^2 \] Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ S = \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 \] Ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp để biến đổi tổng này. Ta biết rằng: \[ C_{2n}^n = \frac{(2n)!}{n!n!} \] Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng: \[ \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = \frac{(2n)!}{n!n!} \] Ta có: \[ \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{n!}{k!(n-k)!} \right)^2 \] Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{n!}{k!(n-k)!} \right)^2 = \sum_{k=0}^{n} \frac{(n!)^2}{(k!)^2((n-k)!)^2} \] Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ \sum_{k=0}^{n} \frac{(n!)^2}{(k!)^2((n-k)!)^2} = \frac{(n!)^2}{(n!)^2} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k!)^2((n-k)!)^2} \] Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ \frac{(n!)^2}{(n!)^2} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k!)^2((n-k)!)^2} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k!)^2((n-k)!)^2} \] Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k!)^2((n-k)!)^2} = \frac{(2n)!}{n!n!} \] Do đó, ta có: \[ \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = \frac{(2n)!}{n!n!} \] Vậy, ta đã chứng minh rằng: \[ (C^0_n)^2 + (C^1_n)^2 + \ldots + (C^n_n)^2 = C_{2n}^n \] Điều này hoàn tất phần chứng minh.