Tìm các giá trị nguyên. Câu 18: Trong tập giá trị của hàm số $y=\frac{2\sin2x+\cos2x}{\sin2x-\cos2x+3}$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 18:
Để tìm tập giá trị của hàm số $ y = \frac{2\sin2x + \cos2x}{\sin2x - \cos2x + 3} $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt biến mới để đơn giản hóa biểu thức:
   Đặt $ t = \tan x $. Khi đó, ta có:
   $$
   \sin 2x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}
   $$

2. Thay vào hàm số:
   Thay $ \sin 2x $ và $ \cos 2x $ vào hàm số $ y $:
   $$
   y = \frac{2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) + \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)}{\left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) + 3}
   $$
   $$
   y = \frac{\frac{4t + 1 - t^2}{1+t^2}}{\frac{2t - (1-t^2) + 3(1+t^2)}{1+t^2}}
   $$
   $$
   y = \frac{4t + 1 - t^2}{2t - 1 + t^2 + 3 + 3t^2}
   $$
   $$
   y = \frac{4t + 1 - t^2}{4t^2 + 2t + 2}
   $$

3. Rút gọn biểu thức:
   Ta có:
   $$
   y = \frac{-t^2 + 4t + 1}{4t^2 + 2t + 2}
   $$

4. Tìm giá trị của $ y $:
   Để tìm giá trị của $ y $, ta cần tìm các giá trị $ y $ sao cho phương trình $ y = \frac{-t^2 + 4t + 1}{4t^2 + 2t + 2} $ có nghiệm $ t $.

5. Biến đổi phương trình:
   Nhân chéo để biến đổi phương trình:
   $$
   y(4t^2 + 2t + 2) = -t^2 + 4t + 1
   $$
   $$
   4yt^2 + 2yt + 2y = -t^2 + 4t + 1
   $$
   $$
   (4y + 1)t^2 + (2y - 4)t + (2y - 1) = 0
   $$

6. Phương trình bậc hai có nghiệm:
   Phương trình $ (4y + 1)t^2 + (2y - 4)t + (2y - 1) = 0 $ có nghiệm nếu và chỉ nếu discriminant $ \Delta \geq 0 $:
   $$
   \Delta = (2y - 4)^2 - 4(4y + 1)(2y - 1)
   $$
   $$
   \Delta = 4y^2 - 16y + 16 - 4(8y^2 - 4y + 2y - 1)
   $$
   $$
   \Delta = 4y^2 - 16y + 16 - 4(8y^2 - 2y - 1)
   $$
   $$
   \Delta = 4y^2 - 16y + 16 - 32y^2 + 8y + 4
   $$
   $$
   \Delta = -28y^2 - 8y + 20
   $$
   $$
   \Delta = -4(7y^2 + 2y - 5)
   $$

7. Giải bất phương trình:
   $$
   -4(7y^2 + 2y - 5) \geq 0
   $$
   $$
   7y^2 + 2y - 5 \leq 0
   $$

8. Tìm nghiệm của bất phương trình:
   Giải phương trình $ 7y^2 + 2y - 5 = 0 $:
   $$
   y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{14} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{14} = \frac{-2 \pm 12}{14}
   $$
   $$
   y = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}, \quad y = \frac{-14}{14} = -1
   $$

9. Xác định khoảng giá trị của $ y $:
   $$
   -1 \leq y \leq \frac{5}{7}
   $$

10. Liệt kê các giá trị nguyên trong khoảng này:
    Các giá trị nguyên trong khoảng $[-1, \frac{5}{7}]$ là:
    $$
    -1, 0
    $$

Vậy, trong tập giá trị của hàm số $ y = \frac{2\sin2x + \cos2x}{\sin2x - \cos2x + 3} $ có tất cả 2 giá trị nguyên.