Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng? A. Hàm số liên tục tại .​B. Hàm số gián đoạn tại . C. .​D. .

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số tại điểm \( x = 0 \). Một hàm số được coi là liên tục tại một điểm nếu ba điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1. Hàm số có giá trị tại điểm đó. 2. Giới hạn của hàm số tồn tại tại điểm đó. 3. Giá trị của hàm số tại điểm đó bằng giới hạn của hàm số tại điểm đó. Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{neu } x \neq 0 \\ 1 & \text{neu } x = 0 \end{cases} \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng điều kiện: 1. Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 1 \] 2. Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0: Ta cần tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \] Theo giới hạn cơ bản, ta biết rằng: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] 3. So sánh giá trị của hàm số và giới hạn: \[ f(0) = 1 \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] Vì cả ba điều kiện đều được thỏa mãn, hàm số \( f(x) \) là liên tục tại \( x = 0 \). Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số liên tục tại \( x = 0 \). Đáp án: A. Hàm số liên tục tại \( x = 0 \).