Diện tích tam giác ABC bằng

Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm C. 2. Tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm C Vì điểm C nằm trên trục Ox và có hoành độ dương, nên tọa độ của C có dạng $(c, 0, 0)$ với $c > 0$. Do tam giác ABC vuông tại C, nên $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$. Tính các vectơ: - $\overrightarrow{CA} = A - C = (1 - c, 2 - 0, 0 - 0) = (1 - c, 2, 0)$ - $\overrightarrow{CB} = B - C = (2 - c, -1 - 0, 1 - 0) = (2 - c, -1, 1)$ Áp dụng điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1 - c)(2 - c) + 2(-1) + 0 \cdot 1 = 0 \] \[ (1 - c)(2 - c) - 2 = 0 \] \[ 2 - c - 2c + c^2 - 2 = 0 \] \[ c^2 - 3c = 0 \] \[ c(c - 3) = 0 \] Vậy $c = 0$ hoặc $c = 3$. Vì $c > 0$, ta chọn $c = 3$. Do đó, tọa độ của C là $(3, 0, 0)$. Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB}| \] Tính các vectơ: - $\overrightarrow{CA} = (-2, 2, 0)$ - $\overrightarrow{CB} = (-1, -1, 1)$ Tính tích vector: \[ \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-2) \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}((-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(2 + 2) \] \[ = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \] Tính độ dài của vectơ: \[ |\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} = \sqrt{6} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\sqrt{6}$