Ciuuu to voi

Câu 7: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên cho thấy các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm. Trong bảng biến thiên: - Hàm số tăng từ $-\infty$ đến $-2$. - Hàm số giảm từ $-2$ đến $0$. - Hàm số tăng từ $0$ đến $2$. - Hàm số giảm từ $2$ đến $+\infty$. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng: - $(-\infty; -2)$ - $(0; 2)$ Trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $(0; 2)$ nằm trong các khoảng mà hàm số đồng biến. Vậy đáp án đúng là: $B.~(0;2).$ Đáp số: $B.~(0;2).$ Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để hàm số \( y = f(3 - 2x) \) nghịch biến. 2. Tìm các khoảng mà \( f'(3 - 2x) > 0 \) dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \). 3. Chuyển đổi các khoảng này về biến \( x \). Bước 1: Xác định điều kiện để hàm số \( y = f(3 - 2x) \) nghịch biến. Hàm số \( y = f(3 - 2x) \) nghịch biến khi đạo hàm của nó nhỏ hơn 0: \[ y' = -2 f'(3 - 2x) < 0 \] \[ f'(3 - 2x) > 0 \] Bước 2: Tìm các khoảng mà \( f'(3 - 2x) > 0 \) dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \). Theo bảng xét dấu của \( f'(x) \): - \( f'(x) > 0 \) khi \( -3 < x < -1 \) hoặc \( x > 1 \) Bước 3: Chuyển đổi các khoảng này về biến \( x \). Chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( 3 - 2x \) nằm trong các khoảng đã xác định ở bước 2. - \( -3 < 3 - 2x < -1 \) \[ -3 < 3 - 2x \Rightarrow -6 < -2x \Rightarrow x < 3 \] \[ 3 - 2x < -1 \Rightarrow 4 < 2x \Rightarrow x > 2 \] Do đó, \( 2 < x < 3 \). - \( 3 - 2x > 1 \) \[ 3 - 2x > 1 \Rightarrow 2 > 2x \Rightarrow x < 1 \] Tóm lại, hàm số \( y = f(3 - 2x) \) nghịch biến trên các khoảng \( (2, 3) \) và \( (-\infty, 1) \). Trong các đáp án được đưa ra, khoảng \( (-2, 1) \) bao gồm cả khoảng \( (-\infty, 1) \), do đó đáp án đúng là: Đáp án: B. \( (-2, 1) \). Câu 14: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần dựa vào đồ thị của hàm số. Hàm số được coi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng dần khi giá trị của biến độc lập tăng dần trong khoảng đó. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ $-\infty$ đến $-1$, đồ thị hàm số giảm dần, tức là hàm số nghịch biến. - Từ $-1$ đến $0$, đồ thị hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến. - Từ $0$ đến $1$, đồ thị hàm số giảm dần, tức là hàm số nghịch biến. - Từ $1$ đến $\infty$, đồ thị hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn được đưa ra, chỉ có khoảng $(-1;0)$ nằm trong các lựa chọn. Vậy đáp án đúng là: $D.~(-1;0).$ Đáp số: $D.~(-1;0).$ Câu 15: Để xác định đường cong nào là đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), chúng ta cần kiểm tra các tính chất của hàm số này. 1. Tìm điểm giao với trục tung (y-intercept): - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{b}{d} \). Do đó, đồ thị sẽ đi qua điểm \( (0, \frac{b}{d}) \). 2. Tìm đường thẳng tiệm cận đứng (vertical asymptote): - Đường thẳng tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( cx + d = 0 \) hoặc \( x = -\frac{d}{c} \). 3. Tìm đường thẳng tiệm cận ngang (horizontal asymptote): - Khi \( x \to \pm \infty \), \( y \approx \frac{a}{c} \). Do đó, đường thẳng tiệm cận ngang là \( y = \frac{a}{c} \). 4. Kiểm tra các lựa chọn: - Đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) sẽ có dạng hyperbola với các đặc điểm trên. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các lựa chọn để xác định đường thẳng tiệm cận đứng và ngang. - Đồ thị A: Tiệm cận đứng là \( x = -1 \) và tiệm cận ngang là \( y = 1 \). - Đồ thị B: Tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và tiệm cận ngang là \( y = -1 \). - Đồ thị C: Tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và tiệm cận ngang là \( y = 1 \). - Đồ thị D: Tiệm cận đứng là \( x = -1 \) và tiệm cận ngang là \( y = -1 \). Giả sử chúng ta đã xác định được rằng đồ thị đúng là đồ thị C (tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và tiệm cận ngang là \( y = 1 \)). Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra đạo hàm của hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \): \[ y' = \frac{(ax + b)'(cx + d) - (ax + b)(cx + d)'}{(cx + d)^2} = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} \] Do \( (cx + d)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -\frac{d}{c} \), dấu của đạo hàm \( y' \) phụ thuộc vào \( ad - bc \). - Nếu \( ad - bc > 0 \), thì \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -\frac{d}{c} \). - Nếu \( ad - bc < 0 \), thì \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq -\frac{d}{c} \). Trong trường hợp của đồ thị C, ta thấy rằng đạo hàm \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). Vậy mệnh đề đúng là: \[ D.~y' < 0,~\forall x \neq 1. \] Câu 17: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + x + 1$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 1) = 3x^2 - 4x + 1 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < \frac{1}{3} \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0 \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{3}) \). - Khi \( \frac{1}{3} < x < 1 \), chọn \( x = \frac{1}{2} \): \[ y'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0 \] Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{3}, 1\right) \). - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0 \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Từ các kết luận trên, ta thấy rằng: - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) và \( (1, +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{3}, 1\right) \). Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{3}; 1\right) \). Đáp án: A. Câu 18: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào đạo hàm \( f'(x) \), ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm: \[ f'(x) = x^2 + 1 \] Ta thấy rằng: - \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) - Do đó, \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) Vì đạo hàm \( f'(x) \) luôn dương (\( f'(x) > 0 \)) trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \), nên hàm số \( y = f(x) \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Do đó, mệnh đề đúng là: D. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Câu 19: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x + 2) = 3x^2 + 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( y' \). \[ y' = 3x^2 + 3 \] Ta thấy rằng \( 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), do đó \( 3x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \). Bước 3: Kết luận về tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số. Vì đạo hàm \( y' = 3x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \), nên hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Câu 20: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = 2x^4 + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^4 + 1) = 8x^3 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: - Ta thấy rằng \( y' = 8x^3 \). - Đạo hàm \( y' \) sẽ dương khi \( x > 0 \) và âm khi \( x < 0 \). 3. Xác định khoảng đồng biến: - Hàm số \( y = 2x^4 + 1 \) đồng biến khi đạo hàm \( y' > 0 \). - Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (0, +\infty) \). Kết luận: Hàm số \( y = 2x^4 + 1 \) đồng biến trên khoảng \( (0, +\infty) \).