giải giúp tôi

Câu 14: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 2. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 3. Tìm tọa độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số. 4. Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu. Bước 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận xiên Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2})}{1 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} x = \pm\infty \] Do đó, hàm số không có tiệm cận ngang. Để tìm tiệm cận xiên, ta chia tử và mẫu: \[ y = \frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1} = x - 4 + \frac{9}{x + 1} \] Khi \( x \to \pm\infty \), ta có: \[ y \approx x - 4 \] Vậy đường thẳng \( y = x - 4 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Bước 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^2 - 3x + 5}{x + 1}\right)' = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x + 5)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x - 5}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 4)(x - 2)}{(x + 1)^2} \] Đạo hàm \( y' \) có dấu phụ thuộc vào dấu của \( (x + 4)(x - 2) \). Ta có: - \( y' > 0 \) khi \( x < -4 \) hoặc \( x > 2 \) - \( y' < 0 \) khi \( -4 < x < 2 \) Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-4, -1) \) và \( (-1, 2) \). Bước 3: Tìm tọa độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu Điểm cực đại xảy ra khi \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, tức là tại \( x = -4 \): \[ y(-4) = \frac{(-4)^2 - 3(-4) + 5}{-4 + 1} = \frac{16 + 12 + 5}{-3} = \frac{33}{-3} = -11 \] Điểm cực đại là \( (-4, -11) \). Điểm cực tiểu xảy ra khi \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, tức là tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{2^2 - 3(2) + 5}{2 + 1} = \frac{4 - 6 + 5}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] Điểm cực tiểu là \( (2, 1) \). Bước 4: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (-4, -11) \) và \( (2, 1) \) là: \[ y - (-11) = \frac{1 - (-11)}{2 - (-4)}(x - (-4)) \] \[ y + 11 = \frac{12}{6}(x + 4) \] \[ y + 11 = 2(x + 4) \] \[ y + 11 = 2x + 8 \] \[ y = 2x - 3 \] Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \( y = 2x - 3 \). Kết luận: - Đáp án đúng là d) [VD,VDC] Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \( y = 2x - 3 \). Câu 15: a) Độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$ là $30\sqrt{3}.$ Để tính độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ SA = \sqrt{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2 + (z_S - z_A)^2} \] Thay tọa độ của các điểm vào: \[ SA = \sqrt{(0 - 30)^2 + (0 - 0)^2 + (30 - 0)^2} = \sqrt{(-30)^2 + 0^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \] Như vậy, độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$ là $30\sqrt{2}$, không phải $30\sqrt{3}$. b) Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Để chứng minh rằng hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: - Các đáy ABCD là hình vuông (tất cả các cạnh bằng nhau và các góc đều là 90°). - Các cạnh bên SA, SB, SC, SD bằng nhau. Kiểm tra các cạnh đáy: \[ AB = BC = CD = DA = 30\sqrt{2} \] Kiểm tra các cạnh bên: \[ SA = SB = SC = SD = 30\sqrt{2} \] Do đó, hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. c) Hình chóp S.A'B'C'D' là hình chóp tứ giác đều. Biết A', B', C', D' lần lượt là điểm cuối của các vectơ lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$. Vì các lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau và phân bố đều, các điểm A', B', C', D' sẽ tạo thành một hình vuông ở đáy và các cạnh bên từ S đến các điểm này cũng sẽ bằng nhau. Do đó, hình chóp S.A'B'C'D' cũng là hình chóp tứ giác đều. d) Biết $\overrightarrow{F_1} = (a; b; c)$ khi đó: $a + b - c = 20$. Trọng lực tác dụng lên chậu cây là 80 N và được phân bố thành bốn lực có độ lớn bằng nhau, tức là mỗi lực có độ lớn là: \[ \left| \overrightarrow{F_1} \right| = \frac{80}{4} = 20 \text{ N} \] Ta có: \[ \left| \overrightarrow{F_1} \right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 20 \] Vì $\overrightarrow{F_1}$ là một trong bốn lực phân bố đều, ta có thể giả sử rằng các thành phần của $\overrightarrow{F_1}$ sẽ có dạng: \[ a = b = -c \] Do đó: \[ a + b - c = a + a - (-a) = 3a = 20 \] \[ a = \frac{20}{3} \] Vậy: \[ a + b - c = 20 \] Đáp số: a) Độ dài vectơ $\overrightarrow{SA}$ là $30\sqrt{2}$. b) Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. c) Hình chóp S.A'B'C'D' là hình chóp tứ giác đều. d) $a + b - c = 20$. Câu 16. a) Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ $(2;-1;1).$ Ta tính trung điểm của đoạn thẳng AB: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{1 - 3}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (2, -1, 1) \] Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ $(2, -1, 1)$. b) $H(1,1,0)$ là hình chiếu của A lên mặt phẳng $(Oxy).$ Hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng $(Oxy)$ sẽ có tọa độ $(x_A, y_A, 0)$. Do đó, hình chiếu của A(3,1,0) lên mặt phẳng $(Oxy)$ là H(3,1,0). Nhưng theo đề bài, H(1,1,0) nên ta thấy rằng H không phải là hình chiếu của A lên mặt phẳng $(Oxy)$. c) $K(-1,-3,2)$ là điểm đối xứng của B qua trục Ox. Điểm đối xứng của B qua trục Ox sẽ có tọa độ $(x_B, -y_B, -z_B)$. Do đó, điểm đối xứng của B(1,-3,2) qua trục Ox là K(1,3,-2). Nhưng theo đề bài, K(-1,-3,2) nên ta thấy rằng K không phải là điểm đối xứng của B qua trục Ox. d) $|AB| = 3\sqrt{5}.$ Ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B: \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-3 - 1)^2 + (2 - 0)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2} \] \[ |AB| = \sqrt{4 + 16 + 4} \] \[ |AB| = \sqrt{24} \] \[ |AB| = 2\sqrt{6} \] Nhưng theo đề bài, $|AB| = 3\sqrt{5}$. Vậy ta thấy rằng $|AB|$ không bằng $3\sqrt{5}$. Kết luận: - Đáp án đúng là a) Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ $(2, -1, 1)$. Câu 17: Để hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)$ và $\overrightarrow{v} = (1; 0; m)$ tạo với nhau một góc $60^\circ$, ta cần tính tích vô hướng của chúng và so sánh với công thức tính góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Ta cũng biết rằng: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Theo công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Tính độ dài của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Thay vào công thức: \[ \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ \left( \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \] \[ \frac{(1 - 2m)^2}{6(1 + m^2)} = \frac{1}{4} \] Nhân cả hai vế với $24(1 + m^2)$ để loại bỏ mẫu số: \[ 4(1 - 2m)^2 = 6(1 + m^2) \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 4(1 - 4m + 4m^2) = 6 + 6m^2 \] \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6 + 6m^2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 16m^2 - 6m^2 - 16m + 4 - 6 = 0 \] \[ 10m^2 - 16m - 2 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 5m^2 - 8m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 5} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm 2\sqrt{21}}{10} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{21}}{5} \] Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là: \[ S = \left\{ \frac{4 + \sqrt{21}}{5}, \frac{4 - \sqrt{21}}{5} \right\} \] Số phần tử của $S$ là 2. Đáp số: 2 Câu 18: Để tìm số điểm M thỏa mãn điều kiện $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90^0$, ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và phương trình mặt phẳng. 1. Tìm vectơ AB, BC, CA: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-2; 2; 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{BC} = C - B = (0; -2; 2)$ - Vectơ $\overrightarrow{CA} = A - C = (2; 0; -2)$ 2. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC: Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC} = (0; -2; 2)$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2;0;0) và vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ là: \[ 0(x - 2) - 2(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \implies -2y + 2z = 0 \implies y = z \] 3. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua B và vuông góc với CA: Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{CA} = (2; 0; -2)$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(0;2;0) và vuông góc với $\overrightarrow{CA}$ là: \[ 2(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 0) = 0 \implies 2x - 2z = 0 \implies x = z \] 4. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB: Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (-2; 2; 0)$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm C(0;0;2) và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ là: \[ -2(x - 0) + 2(y - 0) + 0(z - 2) = 0 \implies -2x + 2y = 0 \implies x = y \] 5. Giao điểm của ba mặt phẳng: Ta có ba phương trình: \[ y = z, \quad x = z, \quad x = y \] Từ đây suy ra $x = y = z$. Gọi tọa độ của M là $(x, y, z)$, ta có: \[ x = y = z \] Do đó, M có dạng $(t, t, t)$. 6. Kiểm tra điều kiện: Để M thỏa mãn $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90^0$, ta cần kiểm tra các vectơ $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{CM}$: - $\overrightarrow{AM} = (t-2, t, t)$ - $\overrightarrow{BM} = (t, t-2, t)$ - $\overrightarrow{CM} = (t, t, t-2)$ Các vectơ này phải vuông góc với nhau: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t-2)t + t(t-2) + t^2 = 0 \implies 3t^2 - 4t = 0 \implies t(3t - 4) = 0 \] \[ \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = t^2 + (t-2)t + t(t-2) = 0 \implies 3t^2 - 4t = 0 \implies t(3t - 4) = 0 \] \[ \overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{AM} = t(t-2) + t^2 + t(t-2) = 0 \implies 3t^2 - 4t = 0 \implies t(3t - 4) = 0 \] Vậy $t = 0$ hoặc $t = \frac{4}{3}$. 7. Kết luận: - Nếu $t = 0$, ta có điểm M(0, 0, 0). - Nếu $t = \frac{4}{3}$, ta có điểm M$\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 19. Trước tiên, ta cần xác định các thành phần của hệ tọa độ Oxyz và các góc đã cho để tính toán tọa độ của điểm M. 1. Xác định tọa độ của điểm M: - Ta biết rằng \( OM = 14 \). - Góc \( \widehat{NOB} = 32^\circ \) và góc \( \widehat{MOC} = 65^\circ \). 2. Tính tọa độ x, y, z của điểm M: - Tọa độ x của điểm M là khoảng cách từ M đến mặt phẳng Oyz, tức là \( x = OM \cdot \cos(\widehat{MOC}) \). - Tọa độ y của điểm M là khoảng cách từ M đến mặt phẳng Oxz, tức là \( y = OM \cdot \sin(\widehat{MOC}) \cdot \cos(\widehat{NOB}) \). - Tọa độ z của điểm M là khoảng cách từ M đến mặt phẳng Oxy, tức là \( z = OM \cdot \sin(\widehat{MOC}) \cdot \sin(\widehat{NOB}) \). 3. Áp dụng công thức tính toán: - \( x = 14 \cdot \cos(65^\circ) \) - \( y = 14 \cdot \sin(65^\circ) \cdot \cos(32^\circ) \) - \( z = 14 \cdot \sin(65^\circ) \cdot \sin(32^\circ) \) 4. Tính toán cụ thể: - \( \cos(65^\circ) \approx 0.4226 \) - \( \sin(65^\circ) \approx 0.9063 \) - \( \cos(32^\circ) \approx 0.8480 \) - \( \sin(32^\circ) \approx 0.5299 \) Do đó: - \( x = 14 \cdot 0.4226 \approx 5.9164 \) - \( y = 14 \cdot 0.9063 \cdot 0.8480 \approx 10.6644 \) - \( z = 14 \cdot 0.9063 \cdot 0.5299 \approx 6.6164 \) 5. Tính tổng S = x + y + z: - \( S = 5.9164 + 10.6644 + 6.6164 \approx 23.1972 \) 6. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: - \( S \approx 23.2 \) Vậy, giá trị của \( S = x + y + z \) là \( 23.2 \).