chọn đúng sai và giải chi tiết(giải thích lí do) chính xác

Câu 1: a) Khi $a=0$, ta có: \[ f(x) = \frac{2x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Tính giới hạn khi $x \to -\infty$: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x^2 - (x^2 + 1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{-1} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} -(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ = \lim_{x \to -\infty} -(2 - \frac{3}{x})(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) = -(2 - 0)(1 + 1) = -4 \] Vậy khẳng định a) sai. b) Khi $a=2$, ta có: \[ f(x) = \frac{-3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Tính giới hạn khi $x \to +\infty$: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-3(x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x^2 - (x^2 + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3(x + \sqrt{x^2 + 1})}{-1} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} 3(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ = \lim_{x \to +\infty} 3(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) = 3(1 + 1) = 6 \] Vậy khẳng định b) sai. c) Ta cần tính giới hạn khi $x \to -1$: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Thay $x = -1$ vào biểu thức: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(2-a)(-1) - 3}{-1 - \sqrt{(-1)^2 + 1}} = \frac{-(2-a) - 3}{-1 - \sqrt{2}} = \frac{-2 + a - 3}{-1 - \sqrt{2}} = \frac{a - 5}{-1 - \sqrt{2}} \] Để giới hạn này bằng $\sqrt{2} - 1$, ta có: \[ \frac{a - 5}{-1 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 \] Nhân cả hai vế với $-1 - \sqrt{2}$: \[ a - 5 = (\sqrt{2} - 1)(-1 - \sqrt{2}) = -\sqrt{2} - 2 + 1 + \sqrt{2} = -1 \] \[ a - 5 = -1 \] \[ a = 4 \] Kiểm tra $a = 4$ là nghiệm của phương trình $t^2 - 5t + 4 = 0$: \[ t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0 \] Vậy $a = 4$ là nghiệm của phương trình, khẳng định c) đúng. d) Ta cần tính giới hạn khi $x \to +\infty$: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x^2 - (x^2 + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{-1} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} -((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ = \lim_{x \to +\infty} -((2-a) - \frac{3}{x})(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) = -(2-a - 0)(1 + 1) = -2(2-a) \] Để giới hạn này bằng $+\infty$, ta cần: \[ -2(2-a) > 0 \] \[ 2 - a < 0 \] \[ a > 2 \] Vậy khẳng định d) sai. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 2: a) Sai vì người khách đi 400m < 500m nên chỉ phải trả giá mở cửa là 10 000 đồng. b) Đúng vì người khách đi 1,5km > 0,5km và < 30km nên phải trả số tiền là: 10 000 + (1,5 - 0,5) x 15 000 = 25 000 (đồng) c) Đúng vì - Nếu 0 < x ≤ 0,5 thì f(x) = 10 000 - Nếu 0,5 < x ≤ 30 thì f(x) = 10 000 + (x - 0,5) x 15 000 = 15 000x + 10 000 - Nếu x > 30 thì f(x) = 10 000 + 29,5 x 15 000 + (x - 30) x 11 000 = 11 000x + 122 500 d) Sai vì lim f(x) khi x tiến gần 0 không tồn tại. Câu 3: a) Đúng vì SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Sai vì AN không thuộc cả hai mặt phẳng (DMN) và (SAC). c) Đúng vì DM cắt (SAC) tại điểm I nằm trên SC. d) Đúng vì SA cắt (DMN) tại J và J nằm trên SC. Vậy ba điểm I, J, C thẳng hàng. Câu 4: a) OI song song với AB: - O là tâm của hình chữ nhật ABCD, do đó O nằm ở giao điểm của các đường chéo AC và BD. - I là trung điểm của AD, do đó OI là đường trung bình của tam giác ABD. - Đường trung bình của tam giác song song với đáy, nên OI song song với AB. Kết luận: Đúng. b) AM song song với CI: - Ta xét tam giác ADM và CDM. - DM = 2CM, do đó M chia đoạn DC thành tỉ lệ 2:1. - Xét tam giác ADM, ta thấy AM không song song với CI vì không có mối liên hệ trực tiếp giữa hai đoạn thẳng này trong cùng một tam giác hoặc hình học cơ bản. Kết luận: Sai. c) Mặt phẳng (GIO) song song với mặt phẳng (SDC): - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó G chia mỗi đường trung tuyến của tam giác SAD thành tỉ lệ 2:1. - O là tâm của hình chữ nhật ABCD, do đó O nằm trên đường chéo AC và BD. - I là trung điểm của AD, do đó OI là đường trung bình của tam giác ABD. - Mặt phẳng (GIO) chứa các điểm G, I, O, trong đó G nằm trên SA và SD, I nằm trên AD, O nằm trên AC và BD. - Mặt phẳng (SDC) chứa các điểm S, D, C. - Để chứng minh (GIO) song song với (SDC), ta cần kiểm tra xem các đường thẳng trong (GIO) có song song với các đường thẳng trong (SDC) hay không. - G nằm trên SD, O nằm trên AC, I nằm trên AD. Do đó, GIO không song song với SDC vì G nằm trên SD và O nằm trên AC, không tạo thành đường thẳng song song với SDC. Kết luận: Sai. d) GM song song với mặt phẳng (SAC): - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó G nằm trên SA và SD. - M là điểm trên cạnh DC sao cho DM = 2CM. - Để chứng minh GM song song với mặt phẳng (SAC), ta cần kiểm tra xem GM có cắt hoặc nằm trong mặt phẳng (SAC) hay không. - GM nằm trong mặt phẳng SAD, do đó GM không song song với mặt phẳng (SAC) vì GM nằm trong SAD và không cắt hoặc nằm trong SAC. Kết luận: Sai. Đáp án cuối cùng: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai