chọn đúng, sai và trình bày tại sao một cách logic, chi tiết và chính xác

Câu 1: a) Khi $a=0$, ta có: \[ f(x) = \frac{2x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Tính giới hạn khi $x \to -\infty$: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x^2 - (x^2 + 1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{-1} \] \[ = \lim_{x \to -\infty} -(2x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ = \lim_{x \to -\infty} -(2 - \frac{3}{x})(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) = -(2 - 0)(1 + 1) = -4 \] Vậy khẳng định a) sai. b) Khi $a=2$, ta có: \[ f(x) = \frac{-3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Tính giới hạn khi $x \to +\infty$: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-3(x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x^2 - (x^2 + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3(x + \sqrt{x^2 + 1})}{-1} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} 3(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ = \lim_{x \to +\infty} 3(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) = 3(1 + 1) = 6 \] Vậy khẳng định b) sai. c) Ta cần tính giới hạn khi $x \to -1$: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Thay $x = -1$ vào biểu thức: \[ \lim_{x \to -1} \frac{(2-a)(-1) - 3}{-1 - \sqrt{(-1)^2 + 1}} = \frac{-(2-a) - 3}{-1 - \sqrt{2}} = \frac{-2 + a - 3}{-1 - \sqrt{2}} = \frac{a - 5}{-1 - \sqrt{2}} \] Để giới hạn này bằng $\sqrt{2} - 1$, ta có: \[ \frac{a - 5}{-1 - \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 \] Nhân cả hai vế với $-1 - \sqrt{2}$: \[ a - 5 = (\sqrt{2} - 1)(-1 - \sqrt{2}) = -\sqrt{2} - 2 + 1 + \sqrt{2} = -1 \] \[ a - 5 = -1 \] \[ a = 4 \] Kiểm tra $a = 4$ là nghiệm của phương trình $t^2 - 5t + 4 = 0$: \[ t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0 \] Vậy $a = 4$ là nghiệm của phương trình, khẳng định c) đúng. d) Ta cần tính giới hạn khi $x \to +\infty$: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x^2 - (x^2 + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1})}{-1} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} -((2-a)x - 3)(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ = \lim_{x \to +\infty} -((2-a) - \frac{3}{x})(1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) = -(2-a - 0)(1 + 1) = -2(2-a) \] Để giới hạn này bằng $+\infty$, ta cần: \[ -2(2-a) > 0 \] \[ 2 - a < 0 \] \[ a > 2 \] Vậy khẳng định d) sai. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 2: a) Sai vì người khách đi 400m < 500m (0,5km) nên chỉ phải trả giá mở cửa là 10 000 đồng. b) Đúng vì người khách đi 1,5km > 0,5km nên phải trả thêm cước phí cho quãng đường còn lại là: (1,5 – 0,5) × 15 000 = 15 000 (đồng) Tổng số tiền phải trả là: 10 000 + 15 000 = 25 000 (đồng) c) Sai vì hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}10000&khi~0< x\leq0,5\\15000x+10000&khi~0,5< x\leq30\\11000x+122500&khi~x>30\end{array}\right.$ d) Sai vì $\lim_{x\rightarrow 0,5^{-}}f(x)=10000$ $\lim_{x\rightarrow 0,5^{+}}f(x)=15000\times 0,5+10000=17500$ Ta có $\lim_{x\rightarrow 0,5^{-}}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 0,5^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại x = 0,5. Câu 3: a) Đúng vì SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Sai vì AN không thuộc cả hai mặt phẳng (DMN) và (SAC). c) Đúng vì DM cắt (SAC) tại điểm I nằm trên SC. d) Đúng vì SA cắt (DMN) tại điểm J nằm trên SC. Vậy ba điểm I, J, C thẳng hàng. Câu 4: a) OI song song với AB: - O là tâm của hình chữ nhật ABCD, do đó O nằm ở giao điểm của các đường chéo AC và BD. - I là trung điểm của AD, do đó OI là đường trung bình của tam giác ABD. - Đường trung bình của tam giác song song với đáy, nên OI song song với AB. Kết luận: Đúng. b) AM song song với CI: - Ta thấy rằng M nằm trên cạnh DC và DM = 2CM, tức là M chia DC thành tỉ lệ 2:1. - CI là đường thẳng nối giữa trung điểm I của AD và C. - Để AM song song với CI, ta cần kiểm tra xem hai đoạn thẳng này có cùng hướng và không cắt nhau không. - Vì M chia DC thành tỉ lệ 2:1 và I là trung điểm của AD, ta có thể thấy rằng AM và CI không song song vì chúng không cùng hướng. Kết luận: Sai. c) Mặt phẳng (GIO) song song với mặt phẳng (SDC): - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó G nằm trên đường trung tuyến của tam giác SAD. - O là tâm của hình chữ nhật ABCD, do đó O nằm trên đường chéo AC. - Mặt phẳng (GIO) bao gồm các điểm G, I, O. - Mặt phẳng (SDC) bao gồm các điểm S, D, C. - Để mặt phẳng (GIO) song song với mặt phẳng (SDC), các đường thẳng trong mặt phẳng (GIO) phải song song với các đường thẳng tương ứng trong mặt phẳng (SDC). - Ta thấy rằng G nằm trên đường trung tuyến của tam giác SAD, do đó G không nằm trên đường thẳng SD hoặc SC. - Mặt khác, O nằm trên đường chéo AC, do đó O không nằm trên đường thẳng SD hoặc SC. - Do đó, mặt phẳng (GIO) không song song với mặt phẳng (SDC). Kết luận: Sai. d) GM song song với mặt phẳng (SAC): - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó G nằm trên đường trung tuyến của tam giác SAD. - M nằm trên cạnh DC và DM = 2CM, tức là M chia DC thành tỉ lệ 2:1. - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A, C. - Để GM song song với mặt phẳng (SAC), GM phải song song với một đường thẳng trong mặt phẳng (SAC). - Ta thấy rằng G nằm trên đường trung tuyến của tam giác SAD, do đó G không nằm trên đường thẳng SA hoặc SC. - Mặt khác, M nằm trên cạnh DC, do đó M không nằm trên đường thẳng SA hoặc SC. - Do đó, GM không song song với mặt phẳng (SAC). Kết luận: Sai. Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai