Mình cần trợ giúp

Câu 1: Để \( A \subset B \), ta cần \( [m; m+1] \) nằm hoàn toàn trong khoảng \( (1; 4] \). Điều này có nghĩa là: - \( m > 1 \) - \( m + 1 \leq 4 \) Từ \( m + 1 \leq 4 \), ta có: \[ m \leq 3 \] Vậy, \( m \) phải thỏa mãn: \[ 1 < m \leq 3 \] Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng này là \( m = 2 \) và \( m = 3 \). Tổng các giá trị nguyên của \( m \) là: \[ 2 + 3 = 5 \] Đáp số: 5 Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng AB: - Điểm A(5, 4) và B(-1, 1). - Vector $\overrightarrow{AB} = (-1 - 5, 1 - 4) = (-6, -3)$. - Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(5, 4) và có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1, 2)$ (vì $\overrightarrow{AB} = (-6, -3)$ thì $\overrightarrow{n} = (1, 2)$ là vector pháp tuyến). - Phương trình đường thẳng AB: $1(x - 5) + 2(y - 4) = 0 \Rightarrow x + 2y - 13 = 0$. 2. Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất: - Gọi M(x, y) là điểm trên đường thẳng AB. - Vector $\overrightarrow{MA} = (5 - x, 4 - y)$. - Vector $\overrightarrow{MC} = (1 - x, -2 - y)$. - Vector $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = ((5 - x) + (1 - x), (4 - y) + (-2 - y)) = (6 - 2x, 2 - 2y)$. - Độ dài vector $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}$ là: \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{(6 - 2x)^2 + (2 - 2y)^2} \] - Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho $(6 - 2x)^2 + (2 - 2y)^2$ nhỏ nhất. - Ta thấy rằng, giá trị nhỏ nhất của $(6 - 2x)^2 + (2 - 2y)^2$ xảy ra khi $6 - 2x = 0$ và $2 - 2y = 0$, tức là $x = 3$ và $y = 1$. 3. Tính giá trị của biểu thức $T = 5x - 20y$: - Thay $x = 3$ và $y = 1$ vào biểu thức $T$: \[ T = 5(3) - 20(1) = 15 - 20 = -5 \] Vậy giá trị của biểu thức $T$ là $-5$. Câu 3: Để tính khoảng cách giữa hai cây bên kia bờ sông, ta sẽ sử dụng Định lý Cosin trong tam giác. Bước 1: Xác định các cạnh và góc của tam giác. - Cạnh a = 75m - Cạnh b = 120m - Góc γ = 35° Bước 2: Áp dụng Định lý Cosin để tính cạnh c (khoảng cách giữa hai cây). \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \] Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào công thức. \[ c^2 = 75^2 + 120^2 - 2 \cdot 75 \cdot 120 \cdot \cos(35^\circ) \] Bước 4: Tính toán từng phần. \[ 75^2 = 5625 \] \[ 120^2 = 14400 \] \[ 2 \cdot 75 \cdot 120 = 18000 \] \[ \cos(35^\circ) \approx 0,8192 \] Bước 5: Thay các giá trị này vào công thức. \[ c^2 = 5625 + 14400 - 18000 \cdot 0,8192 \] \[ c^2 = 5625 + 14400 - 14745,6 \] \[ c^2 = 20025 - 14745,6 \] \[ c^2 = 5279,4 \] Bước 6: Tính căn bậc hai của \( c^2 \) để tìm c. \[ c = \sqrt{5279,4} \] \[ c \approx 72,65 \] Bước 7: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất. \[ c \approx 72,7 \text{ m} \] Vậy khoảng cách giữa hai cây bên kia bờ sông là 72,7 m. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại lượng. Gọi số mét vuông đất trồng đậu là \( x \) (đơn vị: \( m^2 \)). Số mét vuông đất trồng cà là \( 10000 - x \) (đơn vị: \( m^2 \)). Tiếp theo, ta tính số công cần thiết để trồng đậu và cà: - Số công để trồng đậu: \( \frac{20x}{1000} = 0.02x \) (công). - Số công để trồng cà: \( \frac{30(10000 - x)}{1000} = 30 - 0.03x \) (công). Theo đề bài, tổng số công không quá 210 công, nên ta có điều kiện: \[ 0.02x + 30 - 0.03x \leq 210 \] \[ -0.01x + 30 \leq 210 \] \[ -0.01x \leq 180 \] \[ x \geq 18000 \] Tuy nhiên, vì tổng diện tích là 10000 \( m^2 \), nên \( x \) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 10000 \( m^2 \). Do đó, ta có: \[ 0 \leq x \leq 10000 \] Bây giờ, ta tính doanh thu từ trồng đậu và cà: - Doanh thu từ trồng đậu: \( \frac{30000000x}{1000} = 30000x \) (đồng). - Doanh thu từ trồng cà: \( \frac{40000000(10000 - x)}{1000} = 400000000 - 40000x \) (đồng). Tổng doanh thu là: \[ T = 30000x + 400000000 - 40000x \] \[ T = 400000000 - 10000x \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T \), ta thấy rằng \( T \) giảm dần khi \( x \) tăng lên. Do đó, giá trị lớn nhất của \( T \) sẽ xảy ra khi \( x \) nhỏ nhất, tức là \( x = 0 \). Khi \( x = 0 \): \[ T = 400000000 - 10000 \times 0 = 400000000 \text{ (đồng)} \] Vậy, hộ nông dân đó thu được số tiền lớn nhất là 400 triệu đồng. Đáp số: 400 triệu đồng. Câu 5: Trước tiên, ta cần xác định các thông tin đã cho trong bài toán: - An và Bình xuất phát từ điểm P và đi theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau một góc \(40^\circ\). - Điểm dừng ăn trưa của An là A và của Bình là B. - Điểm đích là D. - Ta cần tính khoảng cách Bình còn phải đi để đến đích. Ta sẽ sử dụng Định lý Cosine để giải bài toán này. Bước 1: Xác định các đoạn thẳng và góc đã biết. - Đoạn thẳng PA = 10 km. - Đoạn thẳng PB = 12 km. - Góc giữa PA và PB là \(40^\circ\). Bước 2: Áp dụng Định lý Cosine để tính khoảng cách AB. Theo Định lý Cosine: \[ AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2 \cdot PA \cdot PB \cdot \cos(40^\circ) \] Thay các giá trị vào: \[ AB^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(40^\circ) \] \[ AB^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \cos(40^\circ) \] Sử dụng giá trị \(\cos(40^\circ) \approx 0.766\): \[ AB^2 = 100 + 144 - 240 \cdot 0.766 \] \[ AB^2 = 100 + 144 - 183.84 \] \[ AB^2 = 244 - 183.84 \] \[ AB^2 = 60.16 \] Do đó: \[ AB = \sqrt{60.16} \approx 7.76 \text{ km} \] Bước 3: Xác định khoảng cách Bình còn phải đi để đến đích. - Đoạn thẳng BD = 15 km. - Đoạn thẳng PB = 12 km. Khoảng cách Bình còn phải đi là: \[ BD - PB = 15 - 12 = 3 \text{ km} \] Vậy, Bình phải đi thêm khoảng 3 km nữa để đến được đích. Đáp số: 3 km. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số học sinh có năng khiếu về âm nhạc và không có năng khiếu về mỹ thuật. Bước 1: Xác định tổng số học sinh có năng khiếu về âm nhạc và mỹ thuật. - Số học sinh có năng khiếu về âm nhạc: 20 học sinh. - Số học sinh có năng khiếu về mỹ thuật: 15 học sinh. - Số học sinh có năng khiếu ít nhất một trong hai lĩnh vực: 25 học sinh. Bước 2: Xác định số học sinh có năng khiếu về cả hai lĩnh vực. - Gọi số học sinh có năng khiếu về cả hai lĩnh vực là \( x \). Theo sơ đồ Venn, tổng số học sinh có năng khiếu về ít nhất một trong hai lĩnh vực là: \[ 20 + 15 - x = 25 \] Giải phương trình: \[ 35 - x = 25 \] \[ x = 10 \] Vậy, số học sinh có năng khiếu về cả hai lĩnh vực là 10 học sinh. Bước 3: Xác định số học sinh có năng khiếu về âm nhạc và không có năng khiếu về mỹ thuật. - Số học sinh có năng khiếu về âm nhạc: 20 học sinh. - Số học sinh có năng khiếu về cả hai lĩnh vực: 10 học sinh. Số học sinh có năng khiếu về âm nhạc và không có năng khiếu về mỹ thuật là: \[ 20 - 10 = 10 \] Vậy, có 10 học sinh có năng khiếu về âm nhạc và không có năng khiếu về mỹ thuật. Đáp số: 10 học sinh.