giải giúp mình

Câu 1. a) Tập hợp \( A \) được viết dưới dạng khoảng đóng là: \[ A = [-1; 3] \] b) Tập hợp \( B \) được viết dưới dạng khoảng mở ở phía trái và đóng ở phía phải là: \[ B = (1; 5] \] c) Để tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định các phần tử chung giữa chúng. Ta có: \[ A = [-1; 3] \] \[ B = (1; 5] \] Giao của hai tập hợp này là: \[ A \cap B = (1; 3] \] d) Để tìm hợp của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. Ta có: \[ A = [-1; 3] \] \[ B = (1; 5] \] Hợp của hai tập hợp này là: \[ A \cup B = [-1; 5] \] Tóm lại: a) \( A = [-1; 3] \) b) \( B = (1; 5] \) c) \( A \cap B = (1; 3] \) d) \( A \cup B = [-1; 5] \) Đáp số: a) \( A = [-1; 3] \) b) \( B = (1; 5] \) c) \( A \cap B = (1; 3] \) d) \( A \cup B = [-1; 5] \) Câu 2. a) Tập hợp \( A \) được viết dưới dạng khoảng đóng là: \[ A = [-2; 4] \] b) Tập hợp \( B \) được viết dưới dạng khoảng nửa mở là: \[ B = [1; 6) \] c) Để tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định các giá trị \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện: \[ -2 \leq x \leq 4 \] \[ 1 \leq x < 6 \] Giao của hai tập hợp này là: \[ A \cap B = [1; 4] \] d) Để tìm hợp của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định các giá trị \( x \) thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện: \[ -2 \leq x \leq 4 \] \[ 1 \leq x < 6 \] Hợp của hai tập hợp này là: \[ A \cup B = [-2; 6) \] Lập luận từng bước: - \( A = [-2; 4] \) bao gồm tất cả các số thực từ -2 đến 4, bao gồm cả -2 và 4. - \( B = [1; 6) \) bao gồm tất cả các số thực từ 1 đến 6, bao gồm 1 nhưng không bao gồm 6. - Giao của \( A \) và \( B \) là các số thực từ 1 đến 4, bao gồm cả 1 và 4. - Hợp của \( A \) và \( B \) là các số thực từ -2 đến 6, bao gồm -2 nhưng không bao gồm 6. Đáp số: a) \( A = [-2; 4] \) b) \( B = [1; 6) \) c) \( A \cap B = [1; 4] \) d) \( A \cup B = [-2; 6) \) Câu 3. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ - Ta biết rằng trong hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. - Do đó, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD})$. - Ta cũng biết rằng $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$, nhưng $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$. - Vậy $\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$, tức là $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$. Do đó, phát biểu a) đúng. b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Trong hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. Do đó, phát biểu b) đúng. c) $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC}$ - Ta biết rằng $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$ vì O là tâm của hình bình hành. - Do đó, $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC}$. - Tiếp theo, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$. - Nhưng $\overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{BC}$. Do đó, phát biểu c) sai. d) $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AO}$ - Ta đã biết $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC}$. - Tiếp theo, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$. - Nhưng $\overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{AO}$. Do đó, phát biểu d) sai. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Câu 4. a) Ta có $\overrightarrow{AC} = C - A = (3-4, 2-1) = (-1, 1)$ b) Ta tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] c) Ta tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-4, -3-1) = (-2, -4) \] \[ \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \times (-1) + (-4) \times 1 = 2 - 4 = -2 \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{-2}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \] \[ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right) \] Do đó, góc $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ không phải là 45° hoặc 185°, mà là một góc khác. d) Để ABCD là hình bình hành, ta cần: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Ta tính $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3-2, 2+3) = (1, 5) \] Ta cần tìm D sao cho: \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (1, 5) \] \[ D = A + (1, 5) = (4, 1) + (1, 5) = (5, 6) \] Vậy D phải là (5, 6). Đáp án: a) $\overrightarrow{AC} = (-1, 1)$ b) $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2}$ c) Góc $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ không phải là 45° hoặc 185°, mà là một góc khác. d) D = (5, 6) Câu 5. a) Tìm vectơ $\overrightarrow{AC}$: - Tọa độ của điểm $A$ là $(3, 1)$. - Tọa độ của điểm $C$ là $(0, 2)$. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có tọa độ là $(0 - 3, 2 - 1) = (-3, 1)$. b) Tính độ dài đoạn thẳng $AC$: - Độ dài đoạn thẳng $AC$ được tính bằng công thức: \[ |AC| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] - Thay tọa độ của $A$ và $C$ vào công thức: \[ |AC| = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] c) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Tọa độ của điểm $B$ là $(2, 3)$. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là $(2 - 3, 3 - 1) = (-1, 2)$. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ đã tìm ở phần a) là $(-3, 1)$. - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2)$ được tính bằng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] - Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ là: \[ (-1) \cdot (-3) + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5 \] - Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] - Độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$ là: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Góc $\theta$ là: \[ \theta = 45^\circ \] d) Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành: - Trong hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{AD}$ phải bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$. - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ có tọa độ là $(0 - 2, 2 - 3) = (-2, -1)$. - Vectơ $\overrightarrow{AD}$ có tọa độ là $(x_D - 3, y_D - 1)$. - Để $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, ta có: \[ x_D - 3 = -2 \Rightarrow x_D = 1 \] \[ y_D - 1 = -1 \Rightarrow y_D = 0 \] - Vậy tọa độ của điểm $D$ là $(1, 0)$. Đáp số: a) $\overrightarrow{AC} = (-3, 1)$ b) $|AC| = \sqrt{10}$ c) $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 45^\circ$ d) $D(1, 0)$ Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số người đảm nhận các nhiệm vụ. 1. Xác định số người đảm nhận cả hai nhiệm vụ: - Theo đề bài, có 10 người có thể đảm nhận cả hai nhiệm vụ hướng dẫn và hậu cần. 2. Tính số người chỉ đảm nhận mỗi nhiệm vụ: - Số người chỉ đảm nhận nhiệm vụ hướng dẫn: \[ 30 - 10 = 20 \text{ (người)} \] - Số người chỉ đảm nhận nhiệm vụ hậu cần: \[ 25 - 10 = 15 \text{ (người)} \] 3. Tính tổng số người đảm nhận ít nhất một trong hai nhiệm vụ: - Tổng số người đảm nhận ít nhất một trong hai nhiệm vụ: \[ 10 + 20 + 15 = 45 \text{ (người)} \] 4. Tính số người không đảm nhận bất kỳ nhiệm vụ nào: - Tổng số người được huy động là 50 người. - Số người không đảm nhận bất kỳ nhiệm vụ nào: \[ 50 - 45 = 5 \text{ (người)} \] 5. Kiểm tra các mệnh đề: - a) Số người đảm nhận cả hai nhiệm vụ hướng dẫn và hậu cần là 10 (người), không phải 55 (người). Mệnh đề này sai. - b) Số người đảm nhận ít nhất một trong hai nhiệm vụ là 45 (người), không phải 55 (người). Mệnh đề này sai. - c) Số người chỉ làm một trong hai nhiệm vụ là: \[ 20 + 15 = 35 \text{ (người)} \] Mệnh đề này đúng. - d) Trong những người được huy động, có 5 người không đảm nhận nhiệm vụ nào trong hai nhiệm vụ trên. Mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề c) và d) là đúng. - Mệnh đề a) và b) là sai.