giúp mình với ạ

Câu 1. a) Tập hợp \( A \) được viết dưới dạng khoảng đóng là: \[ A = [-1; 3] \] b) Tập hợp \( B \) được viết dưới dạng khoảng mở ở đầu và đóng ở cuối là: \[ B = (1; 5] \] c) Để tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định các phần tử chung giữa chúng. Ta thấy rằng: \[ A = [-1; 3] \] \[ B = (1; 5] \] Giao của hai tập hợp này là: \[ A \cap B = (1; 3] \] d) Để tìm hợp của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. Ta thấy rằng: \[ A = [-1; 3] \] \[ B = (1; 5] \] Hợp của hai tập hợp này là: \[ A \cup B = [-1; 5] \] Vậy, các câu đúng là: a) \( A = [-1; 3] \) b) \( B = (1; 5] \) c) \( A \cap B = (1; 3] \) d) \( A \cup B = [-1; 5] \) Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 2. a) Tập hợp \( A \) được viết dưới dạng khoảng đóng là: \[ A = [-2; 4] \] b) Tập hợp \( B \) được viết dưới dạng khoảng nửa mở là: \[ B = [1; 6) \] c) Để tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định các giá trị \( x \) thuộc cả hai tập hợp: \[ A \cap B = [1; 4] \] d) Để tìm hợp của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định các giá trị \( x \) thuộc ít nhất một trong hai tập hợp: \[ A \cup B = [-2; 6) \] Đáp án: a) \( A = [-2; 4] \) b) \( B = [1; 6) \) c) \( A \cap B = [1; 4] \) d) \( A \cup B = [-2; 6) \) Đáp số: a) \( A = [-2; 4] \) b) \( B = [1; 6) \) c) \( A \cap B = [1; 4] \) d) \( A \cup B = [-2; 6) \) Câu 3. a) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} \] Nhưng theo đề bài, ta cần kiểm tra \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}\). Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{DB}\) và \(\overrightarrow{BD}\) là hai vectơ ngược chiều nhau. Do đó, phát biểu này sai. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Điều này đúng vì trong hình bình hành, tổng của hai vectơ từ một đỉnh đến hai đỉnh kề liền với nó bằng vectơ từ đỉnh đó đến đỉnh đối diện. Do đó, phát biểu này đúng. c) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] Nhưng theo đề bài, ta cần kiểm tra \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\). Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CA}\) là hai vectơ ngược chiều nhau. Do đó, phát biểu này sai. d) Ta có: \[ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \] Nhưng theo đề bài, ta cần kiểm tra \(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC}\). Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là hai vectơ song song nhưng không bằng nhau. Do đó, phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) sai. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Câu 4. a) Ta có $\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 4, 2 - 1) = (-3, 1)$ b) Ta tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] c) Ta tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 4, -3 - 1) = (-2, -4) \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \times (-3) + (-4) \times 1 = 6 - 4 = 2 \] Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10} \] \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{2}{2\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{2}{2\sqrt{50}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] Do đó, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không phải là $45^\circ$. d) Để ABCD là hình bình hành, ta cần: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Ta tính $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 2, 2 + 3) = (-1, 5) \] Giả sử D có tọa độ $(x, y)$, ta có: \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (x - 4, y - 1) \] Để $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, ta cần: \[ (x - 4, y - 1) = (-1, 5) \] Từ đây, ta có: \[ x - 4 = -1 \Rightarrow x = 3 \] \[ y - 1 = 5 \Rightarrow y = 6 \] Vậy tọa độ của điểm D là $(3, 6)$, không phải là $(1, 0)$. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) $\overrightarrow{AC} = (-3, 1)$ - b) $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10}$ - c) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không phải là $45^\circ$ - d) ABCD là hình bình hành khi $D(3, 6)$, không phải là $D(1, 0)$. Câu 5. Để giải quyết các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tính khoảng cách AC Điểm A có tọa độ (N), điểm C có tọa độ (0, 2). Khoảng cách AC được tính bằng công thức: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \] Thay tọa độ của A và C vào: \[ AC = \sqrt{(0 - N)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{N^2 + 4} \] b) Tìm giá trị của [x] sao cho [x] = $\sqrt{10}$ Giá trị của [x] là: \[ [x] = \sqrt{10} \] c) Tính góc giữa hai vectơ AB và AC Điểm B có tọa độ (2, 3), điểm C có tọa độ (0, 2). Vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - N, 3 - 0) = (2 - N, 3) \] Vectơ AC: \[ \overrightarrow{AC} = (0 - N, 2 - 0) = (-N, 2) \] Tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2 - N)(-N) + 3 \cdot 2 = -2N + N^2 + 6 \] Độ dài của vectơ AB: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(2 - N)^2 + 3^2} = \sqrt{(2 - N)^2 + 9} \] Độ dài của vectơ AC: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-N)^2 + 2^2} = \sqrt{N^2 + 4} \] Góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-2N + N^2 + 6}{\sqrt{(2 - N)^2 + 9} \cdot \sqrt{N^2 + 4}} \] d) Xác định tọa độ của điểm D để ABCD là hình bình hành Điều kiện để ABCD là hình bình hành là: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tọa độ của D là (x, y). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - N, 3) \] \[ \overrightarrow{DC} = (0 - x, 2 - y) = (-x, 2 - y) \] Do đó: \[ 2 - N = -x \] \[ 3 = 2 - y \] Giải hệ phương trình: \[ x = N - 2 \] \[ y = -1 \] Vậy tọa độ của điểm D là: \[ D(N - 2, -1) \] Kết luận a) Khoảng cách AC là $\sqrt{N^2 + 4}$. b) Giá trị của [x] là $\sqrt{10}$. c) Góc giữa hai vectơ AB và AC là $\cos(\theta) = \frac{-2N + N^2 + 6}{\sqrt{(2 - N)^2 + 9} \cdot \sqrt{N^2 + 4}}$. d) Tọa độ của điểm D để ABCD là hình bình hành là D(N - 2, -1). Câu 6. Để giải quyết các mệnh đề này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán. 1. Tổng số người được huy động: 50 người. 2. Số người có thể làm nhiệm vụ hướng dẫn: 30 người. 3. Số người có thể làm nhiệm vụ hậu cần: 25 người. 4. Số người có thể làm cả hai nhiệm vụ: 10 người. Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán từng mệnh đề: Mệnh đề a: "Số người đảm nhận cả hai nhiệm vụ hướng dẫn và hậu cần là 55 (người)." - Số người đảm nhận cả hai nhiệm vụ là 10 người (theo đề bài). Do đó, mệnh đề này là Sai. Mệnh đề b: "Số người đảm nhận ít nhất một trong hai nhiệm vụ trên là 55 (người)." - Số người đảm nhận ít nhất một trong hai nhiệm vụ = Số người hướng dẫn + Số người hậu cần - Số người làm cả hai nhiệm vụ. - = 30 + 25 - 10 = 45 người. Do đó, mệnh đề này là Sai. Mệnh đề c: "Số người chỉ làm một trong hai nhiệm vụ trên là 35 (người)." - Số người chỉ làm nhiệm vụ hướng dẫn = Số người hướng dẫn - Số người làm cả hai nhiệm vụ. - = 30 - 10 = 20 người. - Số người chỉ làm nhiệm vụ hậu cần = Số người hậu cần - Số người làm cả hai nhiệm vụ. - = 25 - 10 = 15 người. - Tổng số người chỉ làm một trong hai nhiệm vụ = 20 + 15 = 35 người. Do đó, mệnh đề này là Đúng. Mệnh đề d: "Trong những người được huy động, có 5 người không đảm nhận nhiệm vụ nào trong hai nhiệm vụ trên." - Số người không đảm nhận nhiệm vụ nào = Tổng số người - Số người đảm nhận ít nhất một trong hai nhiệm vụ. - = 50 - 45 = 5 người. Do đó, mệnh đề này là Đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Sai - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Đúng Câu 1. Số học sinh lớp 10A thích môn bóng đá hoặc bóng chuyền là: 12 + 25 - 5 = 32 (học sinh) Số học sinh không thích hai môn bóng đá, bóng chuyền là: 45 - 32 = 13 (học sinh) Đáp số: 13 học sinh Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số đầu bếp thành công với cả hai món. 1. Tổng số đầu bếp là 40. 2. Số đầu bếp không thành công với bất kỳ món nào là 7. 3. Số đầu bếp thành công ít nhất một món là: \[ 40 - 7 = 33 \] 4. Số đầu bếp thành công với món súp là 25. 5. Số đầu bếp thành công với món tráng miệng là 18. 6. Gọi số đầu bếp thành công với cả hai món là \( x \). Theo sơ đồ Venn, tổng số đầu bếp thành công ít nhất một món là: \[ (25 - x) + x + (18 - x) = 33 \] Tính toán: \[ 25 - x + x + 18 - x = 33 \] \[ 43 - x = 33 \] \[ x = 43 - 33 \] \[ x = 10 \] Vậy số đầu bếp thành công với cả hai món là 10. Đáp số: 10 đầu bếp Câu 3. Để tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu {1; 3; 5; 6; 7; 10}, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 10}{6} = \frac{32}{6} \approx 5.33 \] 2. Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng: \[ (1 - 5.33)^2 \approx (-4.33)^2 = 18.7489 \] \[ (3 - 5.33)^2 \approx (-2.33)^2 = 5.4289 \] \[ (5 - 5.33)^2 \approx (-0.33)^2 = 0.1089 \] \[ (6 - 5.33)^2 \approx (0.67)^2 = 0.4489 \] \[ (7 - 5.33)^2 \approx (1.67)^2 = 2.7889 \] \[ (10 - 5.33)^2 \approx (4.67)^2 = 21.8089 \] 3. Tính tổng của các bình phương này: \[ 18.7489 + 5.4289 + 0.1089 + 0.4489 + 2.7889 + 21.8089 = 49.3354 \] 4. Tính phương sai (variance) của mẫu số liệu: \[ s^2 = \frac{49.3354}{6-1} = \frac{49.3354}{5} = 9.86708 \] 5. Tính độ lệch chuẩn (standard deviation) của mẫu số liệu: \[ s = \sqrt{9.86708} \approx 3.14 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu {1; 3; 5; 6; 7; 10} là khoảng 3.14 (làm tròn đến hai chữ số thập phân). Câu 4. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu [1; 3; 5; 6; 7; 10], chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các phân vị: - Phân vị thứ nhất (Q1): Là giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu đã sắp xếp. - Phân vị thứ ba (Q3): Là giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu đã sắp xếp. 2. Tìm Q1: - Số lượng dữ liệu là 6, do đó vị trí của Q1 là $\frac{6 + 1}{4} = 1,75$. - Giá trị tại vị trí này là giữa giá trị thứ 1 và giá trị thứ 2 trong dãy số. - Giá trị thứ 1 là 1 và giá trị thứ 2 là 3. - Do đó, Q1 = 1 + 0,75 × (3 - 1) = 1 + 0,75 × 2 = 1 + 1,5 = 2,5. 3. Tìm Q3: - Vị trí của Q3 là $\frac{3(6 + 1)}{4} = 5,25$. - Giá trị tại vị trí này là giữa giá trị thứ 5 và giá trị thứ 6 trong dãy số. - Giá trị thứ 5 là 7 và giá trị thứ 6 là 10. - Do đó, Q3 = 7 + 0,25 × (10 - 7) = 7 + 0,25 × 3 = 7 + 0,75 = 7,75. 4. Tính khoảng tử phân vị: - Khoảng tử phân vị (IQR) = Q3 - Q1 = 7,75 - 2,5 = 5,25. Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu [1; 3; 5; 6; 7; 10] là 5,25. Câu 5. Trước tiên, ta cần hiểu rằng vì vật đứng yên, tổng các lực tác động lên vật phải bằng không. Điều này có nghĩa là vectơ tổng của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, và $\overrightarrow{F_3}$ phải bằng không. Ta có: \[ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ \overrightarrow{F_3} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}) \] Bây giờ, ta sẽ tính vectơ tổng của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Giả sử $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tạo thành một góc $\theta$ giữa chúng. Ta biết rằng $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều có cường độ bằng 25 N và góc giữa chúng là 120° (vì góc AMC là 60°). Cường độ của vectơ tổng $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2 |\overrightarrow{F_1}| |\overrightarrow{F_2}| \cos \theta} \] Thay các giá trị vào: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{25^2 + 25^2 + 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \cos 120^\circ} \] Biết rằng $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{625 + 625 + 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{625 + 625 - 625} \] \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{625} \] \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = 25 \text{ N} \] Vậy, cường độ của $\overrightarrow{F_3}$ cũng sẽ là 25 N, vì $\overrightarrow{F_3}$ phải cân bằng với tổng của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Đáp số: Cường độ của $\overrightarrow{F_3}$ là 25 N. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị tối ưu. Gọi số hecta trồng lúa là \( x \) (ha) và số hecta trồng ngô là \( y \) (ha). Theo đề bài, ta có các ràng buộc sau: 1. Tổng diện tích trồng không vượt quá 50 ha: \[ x + y \leq 50 \] 2. Tổng vốn đầu tư không vượt quá 400 triệu đồng: \[ 10x + 5y \leq 400 \] 3. Số hecta trồng lúa và ngô phải là số dương: \[ x \geq 0 \] \[ y \geq 0 \] Tiếp theo, ta cần tìm lợi nhuận tối đa từ việc trồng lúa và ngô. Lợi nhuận từ trồng lúa là 3 triệu đồng/ha và từ trồng ngô là 2 triệu đồng/ha. Vậy lợi nhuận tổng cộng là: \[ P = 3x + 2y \] Bây giờ, ta sẽ vẽ các đường thẳng đại diện cho các ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ \( (x, y) \): 1. Đường thẳng \( x + y = 50 \) 2. Đường thẳng \( 10x + 5y = 400 \) Tìm giao điểm của các đường thẳng này: - Giao điểm của \( x + y = 50 \) và \( 10x + 5y = 400 \): \[ x + y = 50 \] \[ 10x + 5y = 400 \] Chia phương trình thứ hai cho 5: \[ 2x + y = 80 \] Giải hệ phương trình: \[ x + y = 50 \] \[ 2x + y = 80 \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (2x + y) - (x + y) = 80 - 50 \] \[ x = 30 \] Thay \( x = 30 \) vào \( x + y = 50 \): \[ 30 + y = 50 \] \[ y = 20 \] Vậy giao điểm là \( (30, 20) \). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các đỉnh của vùng giải: 1. \( (0, 0) \) 2. \( (0, 50) \) 3. \( (40, 0) \) 4. \( (30, 20) \) Tính lợi nhuận tại các đỉnh này: 1. \( P(0, 0) = 3 \times 0 + 2 \times 0 = 0 \) 2. \( P(0, 50) = 3 \times 0 + 2 \times 50 = 100 \) 3. \( P(40, 0) = 3 \times 40 + 2 \times 0 = 120 \) 4. \( P(30, 20) = 3 \times 30 + 2 \times 20 = 90 + 40 = 130 \) Như vậy, lợi nhuận lớn nhất đạt được khi trồng 30 ha lúa và 20 ha ngô, với lợi nhuận là 130 triệu đồng. Đáp số: Nông trại phải trồng 30 ha lúa để đạt được lợi nhuận lớn nhất.