Giải hộ với

Câu1. Để giải quyết các mệnh đề về hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = x^2 (x-1)^3 (x+2)^4 (x-4) \), chúng ta sẽ phân tích từng bước như sau: Bước 1: Xác định các điểm cực trị Đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 tại các điểm: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -2, \quad x = 4 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) Ta xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng giữa các điểm cực trị: - Khi \( x < -2 \): \( f'(x) < 0 \) (vì \( x^2 > 0 \), \( (x-1)^3 < 0 \), \( (x+2)^4 > 0 \), \( (x-4) < 0 \)) - Khi \( -2 < x < 0 \): \( f'(x) > 0 \) (vì \( x^2 > 0 \), \( (x-1)^3 < 0 \), \( (x+2)^4 > 0 \), \( (x-4) < 0 \)) - Khi \( 0 < x < 1 \): \( f'(x) < 0 \) (vì \( x^2 > 0 \), \( (x-1)^3 < 0 \), \( (x+2)^4 > 0 \), \( (x-4) < 0 \)) - Khi \( 1 < x < 4 \): \( f'(x) < 0 \) (vì \( x^2 > 0 \), \( (x-1)^3 > 0 \), \( (x+2)^4 > 0 \), \( (x-4) < 0 \)) - Khi \( x > 4 \): \( f'(x) > 0 \) (vì \( x^2 > 0 \), \( (x-1)^3 > 0 \), \( (x+2)^4 > 0 \), \( (x-4) > 0 \)) Bước 3: Xác định các điểm cực trị - Tại \( x = -2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = -2 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) không đổi dấu, do đó \( x = 0 \) không là điểm cực trị. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) không đổi dấu, do đó \( x = 1 \) không là điểm cực trị. - Tại \( x = 4 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 4 \) là điểm cực tiểu. Kết luận: - Số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) là 2 (tại \( x = -2 \) và \( x = 4 \)). - Hàm số có 2 điểm cực tiểu (tại \( x = -2 \) và \( x = 4 \)). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-2, 0) \) và \( (4, +\infty) \), nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \), \( (0, 1) \), và \( (1, 4) \). Do đó: a) Sai vì số điểm cực trị là 2, không phải 4. b) Đúng vì hàm số có 2 điểm cực tiểu. c) Sai vì hàm số không đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \). d) Sai vì giá trị cực tiểu của hàm số không phải là \( y_{ct} = y(4) \), mà còn có thêm điểm cực tiểu tại \( x = -2 \). Đáp án: b) Đúng Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 12. a) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \( x = 1 \) Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} \): \[ y' = \frac{(2x - 2)(x + 2) - (x^2 - 2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2x - 4 - x^2 + 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2} \] Tiếp theo, ta tìm điểm cực tiểu bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 5 = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -5 \] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) ở các khoảng: - Khi \( x < -5 \), \( y' > 0 \) - Khi \( -5 < x < 1 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Mệnh đề a) đúng. b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \( y = -2 \) Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x(1 + \frac{2}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{1 + \frac{2}{x}} = \infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{x(1 + \frac{2}{x})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}{1 + \frac{2}{x}} = -\infty \] Như vậy, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Mệnh đề b) sai. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \( y = x - 4 \) Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} = x - 4 + \frac{9}{x + 2} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần dư \( \frac{9}{x + 2} \) sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = x - 4 \). Mệnh đề c) đúng. d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số không nằm trên parabol \( y = x^2 \) Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm giao điểm của đường thẳng \( y = x - 4 \) và đường thẳng \( x = -2 \) (tiệm cận đứng): \[ y = -2 - 4 = -6 \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( (-2, -6) \). Ta kiểm tra xem điểm này có nằm trên parabol \( y = x^2 \) hay không: \[ (-2)^2 = 4 \neq -6 \] Như vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số không nằm trên parabol \( y = x^2 \). Mệnh đề d) đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng